Wachstums- oder Zerfallsprozess?

Question

Der Holzbestand eines Waldes beträgt derzeit \( 30000 \mathrm{~m}^{3} \). Das jährliche Wachstum lässt sich näherungsweise durch die Funktion \( h \) mit \( h(t)=a \cdot \mathrm{e}^{0,0583 t} \) (Zeit \( t \) in Jahren) beschreiben.

a) Handelt es sich bei dieser Funktion um die exponentielle Beschreibung eines Wachstums- oder eines Zerfallsprozesses? Begründen Sie ausschließlich anhand des Funktionsterms.
b) Geben Sie den Wert für den Parameter \( a \) an, der der Aufgabenstellung entspricht.
c) Erstellen Sie eine Wertetabelle, die jedem Jahr \( t \) den Holzbestand \( h(t) \) in \( \mathrm{m}^{3} \) zuordnet. Wählen Sie \( 0 \leq t \leq 10 \) und stellen Sie den Zusammenhang in einem geeigneten Koordinatensystem dar.
d) Berechnen Sie den Funktionswert für \( t=-10 \). Interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Comments

Hallo,
zu a)

Achte auf das Vorzeichen im Exponenten.

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Erneut fehlen die eigenen Ansätze und Ideen!

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Funktioniert ja auch ohne das. Finden sich immer "Helfer" mit genügend Langeweile, die vorrechnen.

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Herrlich!

AM macht MC darauf aufmerksam, dass a) nicht ausreichend beantwortet ist, worauf die Antwort vervollständigt wird.

Allerdings fehlt bei c) noch die graphische Darstellung.

Voila!

:-)

Answer 1

So würde ich es machen:

a) e^(0,0583) = 1,06 (Wachstumsfaktor bei der Wachstumskonstante 0,0583)Das entspricht einem Wachstum von 6% pro Jahr bezogen auf das jeweilige Vorjahr, weil 1,06-1 = 0,06 = 6% ergibt.

b) h(t) = 30000*e^(0,0583t) = 30000*1,06^t

c) Das überlasse ich dir.

d) Du musst nur -10 für t einsetzen. Es ist der Bestand vor 10 Jahren. (Rückrechnung wie beim Abzinsen)

Answer 2

a) Handelt es sich bei dieser Funktion um die exponentielle Beschreibung eines Wachstums- oder eines Zerfallsprozesses? Begründen Sie ausschließlich anhand des Funktionsterms.

h(t) entspricht der Form h(t) = a·e^{k·t} mit k ≠ 0.

Für k > 0 liegt ein Wachstum und für k < 0 eine exponentielle Abnahme vor.

Hier hat man daher ein Wachstumsprozess.

b) Geben Sie den Wert für den Parameter a an, der der Aufgabenstellung entspricht.

a = 30000, wenn h(t) in m³ angegeben wird.

c) Erstellen Sie eine Wertetabelle, die jedem Jahr t den Holzbestand h(t) in m³ zuordnet. Wählen Sie 0 ≤ t ≤ 10 und stellen Sie den Zusammenhang in einem geeigneten Koordinatensystem dar.

[0, 30000;
1, 31801;
2, 33710;
3, 35734;
4, 37879;
5, 40153;
6, 42564;
7, 45119;
8, 47827;
9, 50699;
10, 53742]

d) Berechnen Sie den Funktionswert für t = -10. Interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

h(-10) = 16747 m³

Der Holzbestand betrug vor 10 Jahren etwa 16747 m³ wenn auch dort die Modellvoraussetzungen gegolten haben.

Comments

a) halte ich hier für unzureichend beantwortet, da es darum geht, zu entscheiden, ob und warum es sich um einen exponentiellen Wachstums- oder einen Zerfallsprozess handelt. Es geht also um den Unterschied zwischen Wachstum und Zerfall und woran man dies erkennt.

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Danke. Ich habe das ergänzt.