Erwartungswert bei 42mal Münzwurf

Question

Aufgabe:

Werfe eine faire Münze 42mal unabhänigig hintereinander und notiere die Ergebnisse in einer Reihe. \(X\) gebe an wieviele Kopf es in der Reihe gibt, auf die (ohne Unterbrechung) zwei weitere Kopf folgen. Berechne \(\mathbb{E}[X]\).

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wie man \(X\) in den Erwartungswert berücksichtigen kann. Über Hilfe würde ich mich freuen.

Answer 1

Es gibt n = 40 Positionen, an denen der erste Wurf eines Triples stehen kann.

{(1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), ..., (40, 41, 42)}

Die Wahrscheinlichkeit, dass an einer bestimmten Stelle ein Kopf-Tripet steht ist p = (1/2)^3 = 1/8

Der Erwartungswert wäre jetzt

E(X) = n·p = 40·1/8 = 5

Answer 2

Die Zufallsvariable \( X \) wird durch die Summe der Indikatorvariablen \( I_{i} \) dargestellt, die jeweils anzeigen, ob an einer bestimmten Position ein \( K K K \)-Block beginnt. Der Erwartungswert von \( X \) wird dann durch die Summe der Erwartungswerte der Indikatorvariablen berechnet.