Komplexe Zahlen; Polarkoordinatendarstellung

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie die Polarkoordinatendarstellung von w = (3, 4). Hinweis: Hier müssen die Werte der trigonometrischen Funktionen nicht bestimmt werden, es genügt deren Angabe.

Ansatz:

Es gilt r=|z| = √(a² + b²)

|w| = | (3,4)| = √ (3² + 4²)  = \( \sqrt{9 + 16} \) = \( \sqrt{25} \) = 5

Frage: 1. Ist mein Ansatz richtig?
          2. Ist die Aufgabe somit schon gezeigt oder fehlt noch was?

Answer 1

Bisher hast Du nur den Betrag der Zahl ermittelt. Es fehlt noch der Winkel (siehe Aufgabentext).

Answer 2

Einmal hast Du dich verschrieben, aber richtig gerechnet. $$ | w | = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 $$

Dann musst Du aber noch den Winkel ausrechnen. Wenn \( w = a + i \cdot b \) ist, dann gilt

$$ \varphi = \arctan \left( \frac{b}{a} \right) $$

Comments

arg(w) = arg((3,4)) = 2arctan (\( \frac{4}{\sqrt{3^2 + 4^2} +3} \)) = \( \frac{4}{\sqrt{25} +3} \)   = \( \frac{4}{5+3} \) = \( \frac{4}{8} \) ....

Weiter bin ich nicht gekommen. Zudem ist anzumerken, dass wir kein Taschenrechner benutzen dürfen.

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Du musst $$ \varphi = \arctan\left( \frac{b}{a} \right) $$ ausrechnen, mit a = Realteil(w) und b = Imaginärteil(w).

Aber ohne Taschenrechner? Dann frag mal den Lehrer wie Du auf 53.13° kommen sollst.

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Wenn \( w = a + i \cdot b \) ist, dann gilt$$ \varphi = \arctan \left( \frac{b}{a} \right) $$

Das ist falsch.

Richtig ist: Wenn \( w = a + i \cdot b \) ist und a>0  gilt, dann gilt$$ \varphi = \arctan \left( \frac{b}{a} \right) $$

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Der Wert der trigonometrischen Funktion muß doch laut Aufgabenstellung nicht angegeben werden. Es reicht also als Ergebnis: (5,φ) wobei tanφ = 4/3.

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@ Abakus:

Und welche Werte haben bitte a und b in der Aufgabe?

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@Ullim: oben hast Du einmal a und b in der Formel vertauscht.

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Ja, das ist richtig. Danke. Ich korrigiere es sofort.

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@Jumanji

Wie kommt man auf das Ergebnis (5,φ) und tanφ = 4/3 ?

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Liest du auch die Kommentare, die andere schreiben? Die Formel für \(\varphi\) wurde mehrfach genannt. Beachte, dass \(\arctan\) die Umkehrfunktion von \(\tan\) ist.

Und welche Werte haben bitte a und b in der Aufgabe?

Das Problem ist, dass deine Aussage so klingt, als gilt das immer. Und deswegen ist die Kritik berechtigt. Der Vollständigkeit halber sollte man das immer angeben. Man darf nicht vergessen, dass die FS in der Regel keine Mathematiker sind und deutlich weniger Ahnung und Erfahrung haben als die Helfer. Wenn man also solche allgemeinen Aussagen tätigt, vermittelt man damit gerne, dass es auch allgemeingültig ist, was in der Mathematik aber eben nicht immer so ist.

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abakus' Einwand ist richtig und wichtig. Diese Formel gilt nicht allgemein (anders als in der Antwort oben behauptet).

@Lena Skizziere den Punkt in der komplexen Zahlenebene und zeichne den Winkel ein. Dann sollte Dir der Rechenweg klar werden.

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Das steht in der Definition der Polarkoordinaten.

tanφ = Gegenkathete/Ankathete = Im(z)/Re(z) = b/a

Ich bevorzuge diese Schreibweise, bevor ich für das Auflösen nach φ die Umkehrfunktion des tan, den ‚arctan‘ ins Spiel bringe.

Da dieser nur abschnittsweise definiert ist, führt er häufig zu Verwirrungen.

Man muß für die korrekte Anwendung der Umkehrfunktion eine Vorstellung haben, in welchem Quadranten die Zahl liegt und somit in welchem Bereich der Winkel.

Hier liegt die Zahl im 1. Quadranten (sowohl a als auch b sind positiv) und der erwartete Winkel somit zwischen 0 und 90 Grad.

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Und welche Werte haben bitte a und b in der Aufgabe?

@ ullim:

Ja, in mit den konkreten Werten passt das auch so.

Aber man kann das nicht als allgemeingültige Aussage verkaufen.