Berechnen Sie die Grenzwerte der Folgen

Question

Aufgabe:

(a) Berechnen Sie die Grenzwerte der Folgen:

\( a_{n}=\sin \left(\frac{\pi n}{\sqrt{1+n^{2}}}\right)-\frac{n \sqrt{3 n}}{\sqrt{1+2 n^{2}+2 n^{3}}}, \quad b_{n}=\tan \left(\frac{\sqrt[n]{2 n \pi^{n}} \cdot n}{4 n+1}\right) \)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wie diese Aufgabe gelöst werden soll.

Answer 1

Du hast in der Vorlesung gesehen, wie man Grenzwerte von rationalen Funktionen berechnet. Wende dasselbe Prinzip hier auf die Brüche an (Stichworte "höchste Potenz" und "kürzen"). Probier das und liefere Deine Rechnung mit.

Comments

Ich hab’s versucht, aber es ging nicht wegen der Wurzel

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Das Prinzip ist dasselbe. Z.B. beim Term im \(\sin\) durch \(n\) kürzen.

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Text erkannt:

\( \begin{aligned} a_{n} & =\sin \left(\frac{\pi n}{\sqrt{1+n^{2}}}\right)-\frac{n \sqrt{3 n 0}}{\sqrt{1+2 n^{2}+2 n^{3}}}= \\ & =\sin \left(\frac{n n}{\sqrt{1+n^{2}}}\right)-\frac{\sqrt{3 n^{3}}}{\sqrt{n^{3}\left(\frac{1}{\left.n^{3}+\frac{2}{n^{2}}+2\right)}\right.}} \\ & =\sin \left(\frac{\pi n}{\sqrt{n^{2}\left(\frac{1}{n^{2}}+1\right)}}\right)-\frac{\sqrt{3 n^{3}}}{\sqrt{2 n^{3}}}=\sin \left(\frac{\pi x}{n}\right)-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \\ & =-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\end{aligned} \)

So?

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Von der Idee her ja, vom Aufschrieb her absolut nicht akzeptabel.

Das sind Folgenterme, die sind nicht = Grenzwert. Und man kann nicht Grenzwerte schrittweise bilden (also erst das eine \(n\to\infty\), danach das andere).

Also: Mach getrennte Rechnungen für jeden der beiden Brüche. Deine erste Umformung ist jeweils ok, aber dann kürze, und dann bilde den Grenzwert (Schreibweise: .... \(\to\)...). Dann füge die Teilergebnisse zusammen.

Answer 2

Kannst du den Grenzwert bei einfachen Quotienten bilden wie z.B.

pi·n/√(1 + n^2) = pi·n/√(n^2·(1/n^2 + 1)) = pi/√(1/n^2 + 1)

n·√(3·n)/√(1 + 2·n^2 + 2·n^3) = n^{3/2}·√3/√(n^3·(1/n^3 + 2/n + 2)) = √3/√(1/n^3 + 2/n + 2)

Comments

Diese Darstellung finde ich ehrlich gesagt unzumutbar.

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Ich auch, und er kann's ja besser. Aber etwas Mühe geben ist anscheinend auch unzumutbar.

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Also ist das richtig wie ich gemacht habe

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Die Frage ist vielmehr, ob ein Schüler solch einen Term, wie ich ihn notiert habe, interpretieren können sollte oder ob das zu viel verlangt ist.

Mich würde gerne Eure Meinung dazu interessieren.

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@mc Die Frage ist, ob ein "Helfer" missverständnisfrei und leserlich notieren können sollte oder ob das zuviel verlangt ist.

@melisad8 nein, s.o.

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Also ist das richtig wie ich gemacht habe

Formal solltest du zuerst alle Terme vorbereiten, dass du die Grenzwertsätze anwenden kannst. Und am Ende, wenn du die Grenzwertsätze anwendest auch dazuschreiben, dass du dann den Grenzwert bildest.

lim (n→∞) sin(pi/√(1/n^2 + 1)) = sin(pi) = 0

Aber ansonsten ist die Methode richtig.

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Nein, ist es nicht. S.o.

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Nein, ist es nicht. S.o.

Man muss nicht für jeden Quotienten getrennt den Grenzwert berechnen.

SIN(pi·n/√(1 + n^2)) - n·√(3·n)/√(1 + 2·n^2 + 2·n^3)

= SIN(pi·n/√(n^2·(1/n^2 + 1))) - n^{3/2}·√3/√(n^3·(1/n^3 + 2/n + 2))

= SIN(pi/√(1/n^2 + 1)) - √3/√(1/n^3 + 2/n + 2)

mit n → ∞ folgt daraus

SIN(pi/√(0 + 1)) - √3/√(0 + 0 + 2)

= SIN(pi/1) - √3/√2

= -√(3/2)

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Man muss nicht für jeden Quotienten getrennt den Grenzwert berechnen.

Hab ich nicht behauptet. Lies doch in Ruhe meinen Kommentar und verstehe ihn, bevor Du hier wieder eine vermeintliche Musterlösung hinr*tzt.

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Bin jetzt voll verwirrt ich weiß nicht was richtig und was falsch ist

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@melisad8 Lass Dich durch die Bemerkungen von mathecoach nicht verwirren. Ich hab Dir oben erklärt, wie Du Deine Rechnung korrigieren und klarer darstellen kannst.

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Bin jetzt voll verwirrt ich weiß nicht was richtig und was falsch ist

Du hast es formal nur unsauber notiert. Schau mal an, ob du meinen Aufschrieb, oben verstehst.

Ich breite erst alles vor, indem ich unter der Wurzel die höchste Potenz ausklammer und das n bereits kürze. Das ist das Gleiche was du auch gemacht hast.

Erst ganz am Ende wende ich den Grenzwertsatz an, dass z.B. a/n gegen Null geht wenn n unendlich groß wird.

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Vielen Dank euch beiden

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Du hast es formal nur unsauber notiert.

Das stimmt nicht, aber mc versteht es nicht. Kann ich aber auch nicht ändern.

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Die Frage ist vielmehr, ob ein Schüler solch einen Term, wie ich ihn notiert habe, interpretieren können sollte oder ob das zu viel verlangt ist.

Mich würde gerne Eure Meinung dazu interessieren.

Das ist vollkommen unerheblich, weil es mit der Frage an sich nichts zu tun hat. Auch für einen Mathematiker oder jemanden, der den Term interpretieren kann, ist und bleibt diese Darstellung ganz einfach unübersichtlich und unleserlich und damit unzumutbar. Da gibt es einfach nichts zu diskutieren. Nicht umsonst gibt es mathematischen Formelsatz. Man stelle sich einfach mal vor, jedes Fachbuch wäre auf diese Art und Weise geschrieben. Ich würde es nicht lesen wollen.

Dass du allerdings für Kritik alles andere als empfänglich bist, stellst du regelmäßig erneut unter Beweis.

Fraglich ist auch mal wieder, wieso du die Interpretation deiner ästhetisch wirkenden Terme von den Leuten hier verlangst, aber ihnen das Denken bei den einfachsten Aufgaben immer wieder abnimmst. Selbstständiges Nachdenken verlangst du offensichtlich nicht.

Übrigens ist der Kommentar von nudger nicht beleidigend. Die Wortwahl ist vielleicht - nennen wir sie etwas vulgär - aber treffend, denn die ursprüngliche Kritik an deinen unleserlichen Beiträgen bleibt bestehen und ist berechtigt. Dem wird mit der Wortwahl nur ein bisschen mehr Nachdruck verliehen. Aber dass dich irgendeine Form von Kritik nicht interessiert, ist ja bereits bekannt. Also melden wir das einfach als vermeintliche Beleidigung, weil man sich in seinem Ego gekränkt fühlt. Whatever.

Bin jetzt voll verwirrt ich weiß nicht was richtig und was falsch ist

Sowas bleibt dann natürlich nicht mehr aus.

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Fraglich ist auch mal wieder, wieso du die Interpretation deiner ästhetisch wirkenden Terme von den Leuten hier verlangst, aber ihnen das Denken bei den einfachsten Aufgaben immer wieder abnimmst.

Genau, wie passt das zusammen? Rhetorische Frage. Kann man sich denken, aber wenn ich das sage, wird es bestimmt als Beleidigung markiert.

Warum fragt man eigentlich nach Meinungen, wenn man sie kennt (oft genug geäußert) und sich doch nicht erkennbar damit auseinandersetzt?

Answer 3

b) Zähler gegen pi n, Nenner gegen 4n, Grenzwert tan(pi/4) = 1