Numerik, Konvergenz Newton, Quadratur Fehlerabschätzung

Question

Hallo Mathelounge,

ich habe die Empfehlung von einem Freund bekommen, dass ich wegen meiner Mathe-Probleme mich auf dieser Seite anmelden soll und hier nach Antworten suchen kann.

Ich schreibe dieses Semester eine Numerik-Klausur und habe mittlerweile viele Übungen und Altklausuren durchgerechnet und mir bereiten immer wieder die gleichen Aufgaben ein paar Probleme.

Zum einen geht es um Fehlerabschätzungen bei Interpolationsquadraturen und zum anderen um die Konvergenzordnungen o.ä. zum Beispiel beim Newton-Verfahren. Ich habe mal Beispielaufgaben mitgebracht:
a) Gegeben sei die Funktion f(x) = x³ - 2. Konvergiert das Newton-Verfahren für f(x) auf dem Intervall [-2,2] quadratisch?
b) Gegeben sei die Funktion g(x) = (x+2)x². Zeigen Sie, dass das Newton-Verfahren für jeden Startwert x₀ > -\( \frac{4}{3} \) gegen die Nullstelle bei x = 0 konvergiert.
c) Sei I = [a,b] ⊂ ℝ ein nichtleeres, beschränktes Intervall und f : I → ℝ eine genügend oft differenzierte Funktion. Die Quadraturformel Q_m(f) = (b-a) f(\( \frac{a+b}{2} \) ) heißt Mittelpunktsregel. Geben Sie eine Fehlerabschätzung für Q_m an.
d) Sei [a,b] = [0,2] und ω(x) = x. Geben Sie eine Fehlerabschätzung für die Interpolationsquadratur an. (diese habe ich bereits aufgestellt)

In der Vorlesung wurde immer was mit Taylor-Entwicklung gemacht..deshalb vermute ich, dass ich damit auf die Lösung kommen kann, aber ich blicke da noch nicht so durch. Am besten wären nicht einfach die Lösungen, sondern Ideen, damit ich das verstehen kann.
Liebe Grüße und Danke im Voraus!

Comments

"Immer was mit Taylor-Entwicklung" ist reichlich vage. Du sollst hier sicherlich die Sätze der Vorlesung anwenden, aber diese kennen wir nicht.

Ein Beispiel-Ergebnis siehe z.B. bei wikipedia, https://de.wikipedia.org/wiki/Newtonverfahren#Lokale_quadratische_Konvergenz

damit kannst Du quadratische Konvergenz nachweisen. Ob Ihr ein solches Resultat hattet, weißt nur Du selbst.

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Bei a) ist das NV mit Startwert 0 nicht definiert. Insofern verstehe ich die Aufgabenstellung nicht.

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Zu a): So wie's da steht, ist die Antwort also nein.

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Noch ein Ansatz für c):

Mit \(m=0.5(a+b)\): \(f(x)=f(m)+f'(m)(x-m)+R(x)\). Dabei bezeichnet R den "Rest", den Fehler, wenn man f(x) durch die ersten beiden Terme der Summe ersetzt. Damit ist

$$\int_a^bf(x)\;dx=(b-a)f(m)+0+\int_a^bR(x) \;dx$$

Also gibt das letzte Integral den gesuchten Fehler der Qzadratzrformel an. Jetzt musst Du Dir aus Deinem Lehrmaterial heraussuchen, was man über die Form von R wissen kann (Satz von Taylor) und mit diesem Wissen abschätzen ....