Numerik, Konvergenz Newton, Quadratur Fehlerabschätzung

Question

Hallo Mathelounge,

ich habe die Empfehlung von einem Freund bekommen, dass ich wegen meiner Mathe-Probleme mich auf dieser Seite anmelden soll und hier nach Antworten suchen kann.

Ich schreibe dieses Semester eine Numerik-Klausur und habe mittlerweile viele Übungen und Altklausuren durchgerechnet und mir bereiten immer wieder die gleichen Aufgaben ein paar Probleme.

Zum einen geht es um Fehlerabschätzungen bei Interpolationsquadraturen und zum anderen um die Konvergenzordnungen o.ä. zum Beispiel beim Newton-Verfahren. Ich habe mal Beispielaufgaben mitgebracht:
a) Gegeben sei die Funktion f(x) = x³ - 2. Konvergiert das Newton-Verfahren für f(x) auf dem Intervall [-2,2] quadratisch?
b) Gegeben sei die Funktion g(x) = (x+2)x². Zeigen Sie, dass das Newton-Verfahren für jeden Startwert x₀ > -\( \frac{4}{3} \) gegen die Nullstelle bei x = 0 konvergiert.
c) Sei I = [a,b] ⊂ ℝ ein nichtleeres, beschränktes Intervall und f : I → ℝ eine genügend oft differenzierte Funktion. Die Quadraturformel Q_m(f) = (b-a) f(\( \frac{a+b}{2} \) ) heißt Mittelpunktsregel. Geben Sie eine Fehlerabschätzung für Q_m an.
d) Sei [a,b] = [0,2] und ω(x) = x. Geben Sie eine Fehlerabschätzung für die Interpolationsquadratur an. (diese habe ich bereits aufgestellt)

In der Vorlesung wurde immer was mit Taylor-Entwicklung gemacht..deshalb vermute ich, dass ich damit auf die Lösung kommen kann, aber ich blicke da noch nicht so durch. Am besten wären nicht einfach die Lösungen, sondern Ideen, damit ich das verstehen kann.
Liebe Grüße und Danke im Voraus!

Comments

"Immer was mit Taylor-Entwicklung" ist reichlich vage. Du sollst hier sicherlich die Sätze der Vorlesung anwenden, aber diese kennen wir nicht.

Ein Beispiel-Ergebnis siehe z.B. bei wikipedia, https://de.wikipedia.org/wiki/Newtonverfahren#Lokale_quadratische_Konvergenz

damit kannst Du quadratische Konvergenz nachweisen. Ob Ihr ein solches Resultat hattet, weißt nur Du selbst.

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Bei a) ist das NV mit Startwert 0 nicht definiert. Insofern verstehe ich die Aufgabenstellung nicht.

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Zu a): So wie's da steht, ist die Antwort also nein.

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Noch ein Ansatz für c):

Mit \(m=0.5(a+b)\): \(f(x)=f(m)+f'(m)(x-m)+R(x)\). Dabei bezeichnet R den "Rest", den Fehler, wenn man f(x) durch die ersten beiden Terme der Summe ersetzt. Damit ist

$$\int_a^bf(x)\;dx=(b-a)f(m)+0+\int_a^bR(x) \;dx$$

Also gibt das letzte Integral den gesuchten Fehler der Qzadratzrformel an. Jetzt musst Du Dir aus Deinem Lehrmaterial heraussuchen, was man über die Form von R wissen kann (Satz von Taylor) und mit diesem Wissen abschätzen ....

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Für das R gilt: \( \frac{f''(ξ)}{2!} \)(x-m)²

Das heißt, das ganze mit den grenzen a,b integrieren:
\( \frac{f''(ξ)}{2!} \) \( \int\limits_{a}^{b} \) (x-m)²

Das Ergebnis ist dann:
\( \frac{f''(ξ)}{2} \) · \( \frac{1}{12} \) (b-a)³ = \( \frac{f''(ξ)}{24} \) ·(b-a)³

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Zur a) Das habe ich mir auch bereits aufgeschrieben, aber wie müsste man vorgehen, wenn das Intervall z. B. [0.5, 2] wäre?

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Siehe obigen Vorschlag, ansonsten unter Benutzung der uns weiterhin nicht bekannten (kommt da noch was von Dir?) Sätze der Vorlesung.

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Auch noch eine weitere Aufgabe zur Überprüfung, ob es sinnvoll ist, was ich gemacht habe:
Wir wollen das Integral \( \int\limits_{0}^{1} \)f(x) dx mittels der Interpolationsquadratur Q berechnen.
Stützstellen x₀ = 0 und x₁ = \( \frac{2}{3} \))
a) Berechnen Sie die Gewichte dieser Interpolationsquadratur.
b) Geben Sie eine Fehlerabschätzung für diese Interpolationsquadratur an.

b) Die Gewichte braucht man ja für b nicht. Laut Vorlesung kann man sagen:
E = |Q(f) - \( \int\limits_{0}^{1} \) f(x) dx| = |Q(p) - \( \int\limits_{0}^{1} \) f(x) dx| ≤ \( \int\limits_{0}^{1} \) |p(x) - f(x)| dx = \( \int\limits_{0}^{1} \) |\( \frac{f''(ξ)}{2!} \) · (x-0)(x-\( \frac{2}{3} \))| dx
Wenn man das ausrechnet, kommt man auf \( \frac{f''(ξ)}{2} \) · 0 = 0

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Wohl kaum. Betragsstriche nicht berücksichtigt?

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b)

Ich würde das Intervall evtl. in geeignete Teilintervalle aufteilen.

Würdest du es schaffen zu zeigen, dass das Newtonverfahren für ein xn > 0 gegen die Nullstelle konvergiert.

Würdest du es schaffen zu zeigen, dass das Newtonverfahren für ein xn im Intervall -1 < xn < 0 gegen die Nullstelle konvergiert.

Jetzt untersuche, was die nächste Newton-Iteration ergibt, wenn xn = -1 ist bzw. xn im Intervall -4/3 < xn < -1 liegt.

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Erstmal danke, dass so eine nette Antwort kommt.
Ich würde für die einzelnen Teilintervalle zeigen, dass die Iterationswerte immer näher gegen 0 gehen.
Also für T1: Dass \( \frac{f(x)}{f'(x)} \) > 0 ist und die Iterationswerte kleiner werden
Für T2/T3: Dass diese größer werden

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@nudger
\( \int\limits_{0}^{1} \) |x²-\( \frac{2}{3} \)x| dx =| \( \frac{1}{3} \)x³ -\( \frac{1}{3} \)x² |
Wenn man da 1 einsetzt, dann steht da doch \( \frac{1}{3} \) - \( \frac{1}{3} \)?

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Ah sorry, mein Fehler

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Ja, aber die Rechnung mit dem Betrag ist falsch. Die Fläche liegt teilweise unter und teilweise über der x-Achse. So addierst du negative und positive Werte. Du mußt den Integrationsbereich unterteilen.

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Ja, den Fehler habe ich behoben. \( \frac{8}{81} \)
Dankeschön!

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Zu c: Das \(\xi\) aus der Taylor Formel hängt von x ab. Du musst die Werte \(f"(\xi)\) durch das Maximum der Beträge abschätzen.