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Wenn man die stärkste Zu-/Abnahme berechnen will einer e Funktion ist das dann immer die 2. Ableitung also WP ?

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.. ist das dann immer die 2 Ableitung also WP?

Seltsame Formulierung. Es geht um die Wendestelle.

Was das mit der zweiten Ableitung zu tun hat, steht beispielsweise hier: https://www.mathelounge.de/853536#c853573

Seltsame Formulierung. Es geht um die Wendestelle.

Besser eine seltsame Formulierung (aber man weiß, was gemeint sein soll) als eine falsche/unvollständige Formulierung: Es geht um die Steigung an der Wendestelle!

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Bei der stärksten Zunahme bzw. Abnahme, kann es sich um den Wendepunkt handeln (bzw. mathematisch korrekt: die Steigung an der Wendestelle), ja. Es hängt dann auch davon ob, ob du ein vorgegebenes Intervall hast, denn dann kann die stärkste Zu- bzw. Abnahme auch am Rand angenommen werden. Das musst du dann zusätzlich überprüfen, indem du die Zu- bzw. Abnahme über die erste Ableitung berechnest und vergleichst (Wendestelle und Randwerte in \(f'\) einsetzen).

Das gilt übrigens unabhängig von der Art der Funktion.

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Bei der stärksten Zunahme bzw. Abnahme, kann es sich um den Wendepunkt handeln, ja. Es hängt dann auch davon ob, ob du ein

Wann handelt es sich den nicht um dem WP bei einer stärksten zu/Abnahme wenn ich keinen Rand habe also 1 Ableitung sagt mir nie die stärkste zu/Abhmahme oder sondern nur die Steigung?

Und können e-Funktionen einen Sattelpunkt haben?

Wenn du keinen Rand hast - was im Sachkontext eher unüblich ist - hast du die stärkste Zu- bzw. Abnahme dort, wo die Steigung am größten bzw. am kleinsten ist. Wenn der Graph aber immer weiter ansteigt, kann auch die Steigung immer weiter ansteigen. Betrachte zum Beispiel den Graphen von \(f(x)=x^2\) mit der Ableitung \(f'(x)=2x\). Die Steigung und damit die Zunahme wird für \(x\) gegen unendlich ebenfalls unendlich groß.

Bei der stärksten Zu- bzw. Abnahme interessieren dich die Extrempunkte der ersten Ableitung. Du brauchst zur Berechnung daher die zweite Ableitung.

Es kann derartige Funktionen mit Sattelpunkten geben. Du kannst ja mal versuchen, eine Funktion der Form \(f(x)=(ax^2+bx+c)\mathrm{e}^{x}\) zu finden, die am Wendepunkt die Steigung 0 hat.

Ich geb‘s auf, zu spät

Der Graph hat keinen Sattelpunkt.

Da man davon ausgehen kann das bisher nur Bestandsfunktionen untersucht werden ist das richtig.

@Der_Mathecoach @Apfelmännchen

Die erste Ableitung gibt ja die momentane Änderungsrate der Funktion an, hast du eventuell ein Beispiel wie das in einem Sachzusammenhang gefragt werden würde, wo man die erste Ableitung brauchen tut z.B. beim Thema ein Medikament im Körper oder bei einer abkühlen des Tees.


Wenn da steht bestimme die maximale Anzahl an Wirkstoff im Blut brauche ich ja den HOP also 1 Ableitung aber wie wird dan die momentane Änderungsrate gefragt sein?


Stärkste zu/abnahme wäre ja jtz 2 Ableitung

Bei e-Funktionen

Man könnte fragen, wie schnell das Medikament abgebaut wird oder wie schnell der Tee abkühlt.

Und in welchen Bereich steigt und sinkt das Medikament/Konzentration im Blut wäre ja die Montonie oder also 1 Ableitung Nullsetzen aber wie geht es da weiter?

An den Nullstellen der 1. Ableitung kann sich das Monotonieverhalten ändern. Du musst also mit weiteren Stellen zwischen den Nullstellen prüfen, ob die 1. Ableitung positiv oder negativ ist.

Wenn ich eine Vorzeichentabelle erstellen um zu schauen ob es ein HOP oder TIP ist bei der Funktion (0,3t2 + 2t) * e-0,5t

Die NS der Ableitung sind x = 2,55 und x = -5,22

Ich habe einmal als Faktor e-0,5t   und

(0,3t2 + 2t) in die Vorzeichentabelle eingesetzt und geschaut wann wo + und - ist.

Jetzt aber wurde mit ein ganzer Punkt abgezogen weil ich diese 0,3t.... in die Vorzeichentabelle eingesetzt habe und nicht in Faktorisierte Form also (x - 2,55) und (-5,22 + x)


Kannst du das nachvollziehen ist der Lehrer im Recht?

Der Term 0,3t^2 + 2t ist natürlich verkehrt. Du solltest schon die Ableitung benutzen, um die Vorzeichen der Ableitung zu berechnen.

f(t) = e^(- 0.5·t)·(0.3·t^2 + 2·t)
f'(t) = e^(- 0.5·t)·(- 0.15·t^2 - 0.4·t + 2)

Du solltest also
- 0.15·t^2 - 0.4·t + 2
oder deren faktorisierte Form
≈ - 0.15·(t + 5.221)·(t - 2.554)
benutzen.

- 0.15·t2 - 0.4·t + 2, ja ich habe das hier wurde aber als fehler markiert

- 0.15·t2 - 0.4·t + 2, ja ich habe das hier wurde aber als fehler markiert

Vom Lehrer oder von wem ?

Vielleicht wollte er dort den kompletten Term der Ableitung haben, obwohl der e-Term ja nichts zum Vorzeichen beiträgt.

Vielleicht stellst du mal den Auszug zur Verfügung, wo du den Fehler bekommen hast oder fragst natürlich direkt den Lehrer was du hättest besser machen sollen.

Kannst du das nachvollziehen, den Abzugh hier das Bild:

[Bild wurde gelöscht]


Hast du es noch gesehen, will nicht das dass mein Lehrer sieht?

Ja. Gesehen habe ich es. Er wollte ja eine Faktorisierung oder eine Darstellung der nach unten geöffneten Parabel (- 0.15·t^2 - 0.4·t + 2) mit den beiden Nullstellen.

Wozu ist mir nicht klar. Vielleicht möchte er sehen, dass ihr nicht nur einfach den Werten aus dem Taschenrechner vertraut.

Normalerweise brauchen die Schüler hier bei uns nicht mal eine Faktorisierung in e-Term und Polynomfunktion vornehmen, sondern können einfach f'(t) benutzen, um die Vorzeichen zu bestimmen.

Da kannst du aber gerne nochmals bei Lehrer nachfragen, warum hier eine Skizze oder die faktorisierte Darstellung notwendig gewesen wäre um nur die Vorzeichen zu bestimmen.

Das bräuchte man ja nur wenn man keinen Taschenrechner hat und keine Werte dazwischen einsetzen kann. Dann kann man sich das Verhalten der nach unten geöffneten Parabel an den Nullstellen ansehen und kann daran direkt den Vorzeichenwechsel erkennen, ohne irgendwelche Werte mit dem Taschenrechner zu bestimmen. Wie gesagt. Vermutlich wollte er das so. Ich hätte dafür keinen Punkt abgezogen, wenn du das Vorzeichen mit dem Taschenrechner bestimmst.

Da kannst du aber gerne nochmals bei Lehrer nachfragen, warum hier eine Skizze oder die faktorisierte Darstellung notwendig gewesen wäre um nur die Vorzeichen zu bestimmen.

Er meinte, dass bei der Vorzeichentabelle immer die Faktorisitere Form stehen muss, obwohl das ja nichts ändert, naja schade um den einen Punkt wäre halt der entscheidende für den einser Bereich.

Deine Bemerkung, dass das nichts ändert, ist völlig richtig. Die faktorisierte Form bringt keinen Vorteil. Schon gar nicht, wenn sie wegen der genäherten Nullstellen auch nur näherungsweise gilt.

Aber da sind Lehrer manchmal etwas eigen.

Also wenn das wirklich eine Note ausmacht, würde ich das nicht so hinnehmen. Ich habe jetzt das Bild natürlich nicht gesehen, aber eine Vorzeichentabelle bzw. die Anwendung des Vorzeichenwechselkriteriums erfordert keine faktorisierte Form. Ansonsten hätte der Lehrer das in der Aufgabe kenntlich machen müssen.

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