Wie berechne ich einen fehlenden Punkt? und den Flächeninhalt eines Dreiecks?

Question

Hallo liebes Team,

ich versuche nun schon seit Tagen diese Aufgabe zu lösen:

Gegeben: f(x) = x³-3x-2 [ und g(x) = -0,5(x-2) ]
Nachträgliche Änderung: g(x) = -0.5(x-2)² vgl: Kommentare unten.

Die Aufgabe lautet nun:
Die Fläche zwischen K und den Koordinatenachsen im 4. Feld (also im 4. Quadranten) soll ein größtmöglichstes viereck mit dem Eckpunkt A(0|-2) einschließen. Bestimmen Sie das Viereck mit der größtmöglichen Fläche.

Nun meine Frage, wie Berechne ich den Fehlenden 3. Punkt?
Also einen Punkt habe ich ja gegeben und die anderen 2 sind abzulesen an P1(0|2) -> Schnittpunkt von f und g UND P2(2|0) -> dort verläuft K und dort liegt eine Nullstelle von g.  Oder?

Und desweiteren hab ich keine Ahnung wie ich den Flächeninhalt bestimmen soll :/ ich dachte mir ich teile das viereck in 2 dreiecke auf und berechne es dann, aber ohne winkel schwer - und ohne die Höhe sowieso :/

Ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen, ist für eine wichtige Präsentation. :)

Answer 1

Die Aufgabe lautet nun:
Die Fläche zwischen K und den Koordinatenachsen im 4. Feld (also im 4. Quadranten) soll ein größtmöglichstes viereck mit dem Eckpunkt A(0|-2) einschließen. Bestimmen Sie das Viereck mit der größtmöglichen Fläche.

Skizze:

Meiner Meinung nach gibt es hier nur die Möglichkeit mit D(0|0)

f(x) = x^3 - 3x - 2 = -2

x^3 - 3x = 0

x(x^2 - 3) = 0

x1 = Wurzel(3)

Andere Lösungen nicht interessant

f(Wurzel(3)) = 3^{3/2} - 3+3^{1/2} - 2 = 4√3-5

Also B(4√3-5 | -2) und C(4√3-5 | 0)

Die Gerade hat hier doch eigentlich überhaupt keine Auswirkungen.

Comments

Ohje - hab so eben gesehen dass ich bei der g(x) einen eingabefehel habe!
Richtig lautet es: -0,5(x-2)² tut mir leid :/

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So sollte das 4-eck in etwa aussehen, mein Problem ist nun wie komme ich mit einem schritftl. rechen weg auf den Punkt P und auf den Flächeninhalt der gesamtem Fläche? 

 

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War mein Fehler ich habe irgendwie zu Anfang nur ein Rechteck gedacht.

Ok. Das Viereck setzt sich aus einem Trapez und einem Dreieck zusammen. Die Fläche berechnet sich wie folgt. Achtung. Die Fläche ist negativ, weil unter der x-Achse.

A = 1/2*(-2 + f(x)) * x + 1/2 * f(x) * (2-x)

A = 1/2·(-2 + (x^3 - 3·x - 2))·x + 1/2·(x^3 - 3·x - 2)·(2 - x)

A = x^3 - 4·x - 2 (Tiefpunkt gesucht weil es die großte negative Fläche ist.)

A' = 3·x^2 - 4 = 0

x = 2/3·√3 ~ 1.154700538

f(2/3·√3) = - 10·√3/9 - 2 ~ -3.924500897

Dann sollte der Punkt bei ca. (1,155 | -3,925) liegen.

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Ok alles klar :) welche Formel hast du genau verwendet und von wo hast du die Werte genommen die du eingesetzt hast? Aus dem gegebenen Punkt? Dann müsste mein letzter fehlender Punkt bei (1.155/-3,925) liegen. Und der flächeninhalt? Tut mir leid bin grad ein wenig verwirrt und durcheinander ^^ und vielen vielen dank!

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Formel fürs Trapez und Fürs Dreieck

A_Trapez = 1/2 * (a + c) * h

A_Dreieck = 1/2 * g * h

Die Fläche Deines 4ecks bestimmst Du indem du x in A einsetzt

A = x^3 - 4·x - 2 = (2/3·√3)^3 - 4·(2/3·√3) - 2 = - 16·√3/9 - 2 ~ -5.079201435

Hier ja negativ, weil die Fläche unterhalb der x-Achse ist. Im Antwortsatz schreibt man dann die Fläche beträgt ca. 5,08 FE (Flächeneinheiten).

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Alles klar - hab's verstanden :) vielen lieben dank! Jetzt kann ich ruhig schlafen :D