Lineare Gleichungssysteme Lösungsmenge angeben

Question

folgende Aufgabe zu Linearen Gleichungssysteme ist gegeben:

Welche Elemente enthält die Lösungsmenge der folgenden Linearen Gleichungssyteme?

a)
A+3B=0
4A-2B=0

b)
5λ-3μ=7
-λ-μ=1

c)
8m-6n=4
4m-3n=2

d)
12r+10s=7
6r+5s=2

Lösungsvorschlag zu a):
I A+3B=0
II 4A-2B=0

I A=-3B
4(-3B)-2B=0
-14=0
A=0
B=0

Kann es sein, dass man b) bis d) nur mit einer Matrizenrechnung lösen kann oder geht es auch über das Einsetzungsverfahren?



 

Answer 1

Bis auf die drittletzte Zeile deiner Rechnung ( dort müsste - 14 B = 0 stehen) hast du alles richtig gemacht. Die Lösung des gegebenen Gleichungssystems ist tatsächlich

A = 0 , B = 0

Setze diese Lösungen in die beiden ursprünglichen Gleichungen ein, dann erhältst du zwei wahre Aussagen.

 

Kann es sein, dass man b) bis d) nur mit einer Matrizenrechnung lösen kann oder geht es auch über das Einsetzungsverfahren?

Grundsätzlich kann man jedes lineare gleichungssystem mit allen dafür zur Verfügung stehenden Verfahren lösen, also auch die Systeme b) bis d)

Ich führe es an Aufgabe b mit dem Einsetzungverfahren vor:

5 λ - 3 μ = 7
- λ - μ = 1

5 λ - 3 μ = 7
λ = - μ - 1

Einsetzen in die erste Gleichung:

5 ( - μ - 1 ) - 3 μ = 7
λ = - μ - 1

- 8 μ - 5 = 7
λ = - μ - 1

8 μ = - 12
λ = - μ - 1

μ = - 1,5
λ = - ( - 1,5) - 1

μ = - 1,5
λ = 0,5

Einsetzen in die ursprünglichen Gleichungen ergibt zwei wahre Aussagen, also ist die Lösung korrekt.

Comments

Hallo JotEs,

 Ich werde dir gleich einen Stern geben, ich habe aber noch die Lösungen für c) und d), weiß aber nicht, ob diese korrekt sind.



c)
m=0,5
n=0

d)
keine Lösung?

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zu c)

Multipliziere die zweite Gleichung mit 2. Du erhältst:

8m-6n=4
8m-6n=4

Die zweite Gleichung ist also äquivalent zur ersten Gleichung. Sie enthält daher keine Information, die nicht auch schon durch die erste Gleichung gegeben wäre. Daher kann man eine der beiden Gleichungen einfach weglassen.

Es verbleibt:

8m-6n=4

<=> 8m = 4 + 6 n

<=> m = ( 1 / 2 ) + ( 3 / 4 ) n

Somit existieren unendlich viele Lösungen, je nachdem , welchen Wert man für n einsetzt.

Setzt man n = 0 , dann ergibt sich m = 1 / 2 ( das ist die von dir angegebene Lösung)

Eine weitere Lösung erhält man wenn man z.B.

n = 1

setzt. Dann ergibt sich

m = ( 1 / 2 ) + ( 3 / 4 ) = 5 / 4

Setze diese Werte zur Probe in die ursprünglichen Gleichungen ein und prüfe ob sich wahre Aussagen ergeben. Probiere auch ein paar andere Werte für n.

 

zu d)

12r+10s=7
6r+5s=2

Multipliziere die zweite Gleichung mit 2:

12r+10s=7
12r+10s=4

Hier kann es keine Lösung geben, weil der Term 12 r + 10 s nicht sowohl den Wert 7 als auch den Wert 4 haben kann.

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Vielen Dank JotEs für deine Unterstützung! Wie versprochen erhältst du einen Stern!

Ich wünsche dir einen guten Start in die Woche :-)