Wurfparabel: Stein verlässt in einer Höhe von 1,50 Metern die Hand des Jungen und folgt dann seiner Flugbahn...

Question

Ich weiß, dass es viel ist aber ich komme gerade gar nicht weiter, stehe total auf dem Schlauch !

Ein 13-jähriger Junge wirft vom Ufer eines Sees einen Stein in das Wasser. Der Stein verlässt in einer Höhe von 1,50 Metern die Hand des Jungen und folgt dann seiner Flugbahn der Parabel einer quadratischen Funktion. Nach 2 sekunden erreicht der Stein seine Maximale Höhe (über dem Boden bzw. über dem Wasser) von 4,50 Metern, bis er wenig später ins Wasser fällt.

a) Stellen Sie die Scheitelpunktform der zur Parabel gehörenden quadratischen Funktion auf. Dabei entspricht x der nach dem Abwurf des Steins verstrichene Zeit (in sekunden) und y der Höhe des Steines über dem Boden bzw. über dem Wasser (in Meter).

b) Berechnen Sie, nach wie viel Sekunden der Stein ins Wasser fällt. Stellen sie anschließend die gesamte Flugbahn des Steines vom Abwurf bis zum Eintauchen ins Wasser in einem geeigneten Koordinatensystem dar.

Comments

" ich komme gerade gar nicht weiter "

Wie weit bist du denn schon ?

Answer 1

 

eine quadratische Funktion hat die allgemeine Form

f(x) = ax² + bx + c

Gegeben ist, dass nach 0 Sekunden der Stein eine Höhe von 1,50 Metern hat, also

f(0) = a*0² + b*0 + c = 1,50 | also c = 1,50

Nach zwei Sekunden erreicht der Stein seine maximale Höhe von 4,50 Metern, also

f(2) = a*2² + b*2 + 1,50 = 4,50

Und da es die maximale Höhe ist, muss bei x = 2 auch die 1. Ableitung der Funktion = 0 sein, also

f'(x) = 2ax + b

f'(2) = 4a + b = 0

Damit haben wir drei Gleichungen mit 3 Unbekannten:

I. c = 1,50

II. 4a + 2b = 3

III. 4a + b = 0

a = -0,75

b = 3

c = 1,5

 

a)

Die Gleichung lautet also

f(x) = -0,75x² + 3x + 1,5

 

b)

Nach wie viel Sekunden fällt der Stein ins Wasser?

f(x) = -0,75x² + 3x + 1,5 = 0 | : (-0,75)

x² - 4x - 2 = 0 | pq-Formel

x_1,2 = 2 ± √(4 + 2) = 2 ± √6

x₁ ≈ 4,45

x₂ ≈ -0,45

Eine negative Zeit ist unsinnig, also fällt der Stein nach ca. 4,45 Sekunden ins Wasser.

 

Besten Gruß

Comments

f'(x) = 2ax + b

f'(2) = 4a + b = 0 

wie hast du das berechnet?

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Hi NB,

 

die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet:

f(x) = ax² + bx + c

Diese kann ich jetzt ableiten wie gewohnt, also

f'(x) = 2ax + b

Und wenn ich jetzt für das x die 2 einsetze, erhalte ich

f'(2) = 2a*2 + b = 4a + b

An der Stelle 2 muss die 1. Ableitung der Funktion = 0 sein (wegen des Maximums), also

f'(2) = 4a + b = 0

 

Alles klar?

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Ja das schon aber wie kommst du dann auf b und a

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Wir hatten uns vorgearbeitet bis zu den beiden Gleichungen

II. 4a + 2b = 3

III. 4a + b = 0

Nun darf man III. von II. subtrahieren und erhält

4a + 2b - (4a + b) = 3 - 0

b = 3

Und das setzt man dann in eine der beiden Gleichungen ein, zum Beispiel in die III.

4a + b = 0

4a + 3 = 0 | - 3

4a = -3 | :4

a = -3/4 = -0,75

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Ah ok verstehe jetzt habe ich deine Vorgehensweiße verstanden danke

Answer 2

Hi,

a) Scheitelpunkt-Form einer nach unten geöffneten Parabel in deinem Fall:

y=-(x-2)²+4,5

b) Hier musst du die Nullstellen berechnen.

y=0

Ausmultipliziert ergibt das:

0=-x²+4x+0,5

x1=-0,12   x2=4,12

Da die Zeit positiv ist, kann nur 4,12 richtig sein.

Also nach 4,12 Sekunden fällt der Stein ins Wasser.

Ich bin mir nicht sicher ob das stimmt, lass bitte noch jemand anders hier rechnen. Hatte solche Aufgaben schon lange nicht mehr in der Schule behandelt bin mir deshalb nicht zu 100% sicher.

LG

Comments

@Simon:

Da bin ich mir auch nicht ganz sicher :-D

Der Graph in meiner Antwort scheint aber eher meine Lösung zu unterstützen.

Lieben Gruß

Andreas

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@Brucybaba: Ja, da hast du wohl Recht. Ich habe den Anstieg nicht berücksichtigt. Folgedessen war dann natürlich alles falsch ;) Naja, Aus Fehlern lernt man!

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@Simon:

"Aus Fehlern lernt man!"

Damit rennst Du bei mir offene Türen ein :-D

Answer 3

Stelle die Scheitelpunktform auf

f(x) = -3/4·(x - 2)^2 + 4.5

Nullstellen f(x) = 0

-3/4·(x - 2)^2 + 4.5 = 0
x = 4.449489742

Skizze: