Eine Folge von abgeschlossenen Mengen

Question

d) Seien $\left(A_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ eine Folge von abgeschlossenen Mengen, dann ist auch $\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}$ abgeschlossen.

Mich würde interessieren ob diese Aussage stimmt. Ich habe in meinen Unterlagen leider nichts was sich auf Folgen von abgeschlossenen Mengen bezieht.

Ist unendlich kein richtiger Randpunkt und deswegen ist es nicht abgeschlossen? Kann man da ein Gegenbeispiel anbringen falls es wirklich falsch ist?

Answer 1

Die Vereinigungsmenge unendlich vieler abgeschlossener Mengen kann zwar abgeschlossen sein, muss es aber nicht notwendigerweise sein.

Gegenbeispiel:

( A_n )_n∈N = [ - 1 + ( 1 / n ) , 1 - ( 1 / n )  ]

ist eine Folge von abgeschlossenen Mengen.

Die Vereinigungsmenge

$$\bigcup _{ n=1 }^{ \infty }{ { A }_{ n }=\bigcup _{ n=1 }^{ \infty }{ \left[ -1+\frac { 1 }{ n } ,1-\frac { 1 }{ n } \right] } }$$

jedoch ist nicht etwa das abgeschlossene Intervall [- 1 , 1 ] sondern das offene Intervall ( - 1 , 1 )

Denn egal, wie groß n auch wird, der Ausdruck 1 / n wird immer größer als 0 sein. Damit nähern sich die Ränder des Vereinigungsintervalls zwar - 1 bzw. + 1 an, erreichen diese aber niemals. Daher ist das Vereinigungsintervall eine offene Menge.

Comments

Genau das ist die Aufgabenstellung nach der ich gesucht habe.

Jedoch ist in meiner Version nach in einer Lösung für R² gefragt.

Wie sähe die Vereinigungsmenge dann aus?

Müsste man im zwei Dimensionalen einfach noch einmal einen ähnlichen Intervall für Y anführen?

Answer 2

Guck dir mal an, was da passiert, wenn $A_n:=\left[\frac{1}{n}, 1\right]$ ist.

Comments

Also klar der erste Wert wird immer kleiner, ich weiß nur nicht was mir das sagen soll :S

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Was ist denn $\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n=\bigcup\limits_{n=1}^\infty \left[\frac{1}{n},1\right]$?

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Die Vereinigung der Folgen, bzw. des Intervalls?

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Ja, das ist die Vereinigung der einzelnen Intervalle. Wie lautet denn diese Vereinigungsmenge konkret?