Lineare Approximation - Was ist das überhaupt?

Question

Mich beschäftigt das Thema lineare Approximation und ich kann mir darunter nicht soviel vorstellen. Laut Internet handelt es sich dabei um eine Annäherung an eine bestimmte Funktion. Ich habe also eine sehr komplizierte Funktion, deren Ableitung sehr zeitintensiv und schwierig wäre. Also lege ich eine Tangente an einem bestimmten Punkt der Funktion an um die Funktion zu approximieren?

Ist meine Denkweise soweit richtig?

Comments

" Also lege ich eine Tangente an einem bestimmten Punkt der Funktion an um die Funktion zu approxmimieren? "
Ja. mfg Georg

Answer 1

Ja. Das ist soweit richtig. Die Approximation funktioniert dann zwar nur für einen ganz kleinen Bereich aber das langt meist

f(x) = √x kann an der Stelle 1 linear approximiert werden durch

l(x) = (x + 1)/2

Will ich also die Wurzel von 1.05 approximieren kann ich rechnen

l(1.05) = (1.05 + 1)/2 = 1.025

f(1.05) = √1.05 = 1.024695076

Meine Appoximation weicht also 0.03% vom wirklichen Wert ab und lässt sich viel schneller berechnen.

Answer 2

Hi,

Sinn der linearen Approximation ist, dass man, wenn man einen Punkt der Kurve kennt, durch eine Taylorreihen Entwicklung erster Ordnung auch einen Punkt, der ein Stück weiter auf der Kurve liegt, berechnen kann. Allerdings ist das natürlich mit einem gewissen Fehler behaftet, der durch das Restglied des Taylorpolynoms ausgedrückt wird. Berückschtigt man auch noch die zweite Ableitung spricht man von einer quadratischen Approximation und man muss das Taylorpolynom zweiter Ordnung berechnen.

Das Ganze funktioniert auch im mehrdimensionalen, man muss dann nur Taylorpolynome im mehrdimensionalen berechnen und kommt so auf die Jakobi- und Hesse-Matrix.

Hier noch ein Link zum Thema

https://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe#Mehrdimensionale_Taylorreihe

https://de.wikipedia.org/wiki/Hesse-Matrix

Comments

Okay, diese Präsentation fand ich noch ganz hilfreich: http://www.math.uzh.ch/?file&key1=18422

Die lineare Approximation einer Funktion errechne ich mit Hilfe dieser Formel

f(x) ≈ f(x₀) + f'(x₀)*(x − x₀)

Heißt es ich soll die lineare Approximation einer Funktion an einem bestimmten Punkt (x₀) bestimmen, setze ich zunächst mein x₀ in die Ausgangsfunktion ein und erhalte mein f(x₀). Im Anschluss leite ich meine Ausgangsfunktion ab und setze mein x₀ in die abgeleitete Funktion ein. Dann noch mit (x-x₀) multiplizieren.

Ein Beispiel wäre also $$ f(x)=\sqrt [ 3 ]{ x } \quad um\quad x=1$$

ich soll also die Approximation der Funktion an dem Punkt x=1 bestimmen.

ich gehe wie oben beschrieben vor und erhalte 1 + (1/3)*(x-1) = 4/3(x-1)

Was genau sagt mir jetzt das Ergebnis?

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Hi,

zum Schluß ist Dir ein Rechenfehler unterlaufen. Das Ergebnis lautet \( \frac{2}{3}x \). Du kanns jetzt z.B. für x=2 einsetzen, dann ergibt \( \frac{2}{3}2=1.333 \) und \( \sqrt[3]{2}=1.259 \) damit hast Du ein Näherungsergebnis gefunden.

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Achso, jetzt verstehe ich das Ganze. Im Prinzip also Ableiten und in die Formel einsetzen. Danke :)

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Aber ich suche noch die Notwendigkeit für eine solche Approximation. Ich dachte es ist notwendig, wenn es eine Funktion gibt, deren Ableitung sehr kompliziert ist? Aber im Endeffekt habe ich ja einen Nährungswert für einen Wert gefunden, den ich einfach nur in die Ausgangsfunktion hätte einsetzen müssen. Ich hoffe ihr wisst was ich meine.

Ich setze also meinen Wert in die Ausgangsfunktion ein (was ja eigentlich nie kompliziert ist) und erhalte 1.259. Oder ich approximiere das Ganze mit der obigen Formel und erhalte 1.333. In diesem Fall wäre es doch aber einfacher gewesen, einen beliebigen Wert in die Funktion einzusetzen.

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HI,

wenn Deine Kurve einen zeitlichen Verlauf beschreibt, kannst Du ja nicht in die Zukunft sehen und den Wert korrekt ausrechnen. Da bleibt Dir nur die Möglichkeit, Annahmen über den zeitlichen Verlauf zu treffen. Als Beispiel nehme mal die zivile Luftfahrt.Der Luftraum wird per Radar überwacht und das Radar liefert die momentane Position des Flugzeuges. Wenn ein anderes Flugzeug in der nähe ist, möchte man wissen, wie wahrscheinlich ein Zusammenstoss ist. Dafür muss man aber die Position in die Zukunft extrapolieren, und das kann man z.B. mit linearer Interpolation machen, nicht für einen großen Zeitraum aber für einen kleinen gut genug.