Asymptote akribisch definieren

Question

 

bin gerade dabei das Thema Asymptoten aufzubereiten.

Ich finde dazu Videos und Seiten, aber nicht ein durchgerechnetes Beispiel, so wie ich mir gerne wünschen würde.

Und zwar bitte ich für beispielsweise f(x) = 1/x ein genaue Herangehensweise und detaillierte Dokumentation mit allem möglichen wie Definitionsbereich, Grenzverhalten mit Limes unendlich, Nennerpolynom 0 setzen etc., damit am Ende eine nachvollziehbare Herangehensweise für y=0 und x=0  steht.
 

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Answer 1

Wo liegen denn die Schwierigkeiten.

Definitionsbereich sollte klar sein. Der Nenner eines Bruches darf nicht 0 sein. 0 Ist hier also direkt eine Polstelle, weil der Zähler eh nie Null wird.

lim (x → -∞) 1/x = 0^-
lim (x → ∞) 1/x = 0⁺

lim (x → 0^-) 1/x = -∞
lim (x → 0⁺) 1/x = ∞

Nimm mal als Funktion

f(x) = (x^3 - 3·x^2 + 4·x - 2)/(2·x^2 - 6·x + 4)

Und die untersuchst du nach allen Regeln der Kunst. Dann dürfe es eventuell Klarer werden. Mach dir zunächst villeicht eine Skizze.

Comments

Okay, vielen Dank, ich probiere es gleich mal.

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Laut Zeichnung ist x=2 die senkrechte Asymptote.

1) Was ist denn x = 1? Woher weiß ich das rechnerisch?

2) Ist irgendwo eine Polstelle? Wie kriege ich die raus?

3) Mit dem Grenzwertverhalten mit Limes habe ich es überhaupt nicht hingekriegt, kannst du mir das aufstellen für beide? Wie muss ich rangehen? 

Ich möchte das gerne ganz korrekt 100%ig schreiben können, wie man das bei ganzrationalen Zahlen z.B. herleiten kann:

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Um Polstellen und Lücken zu unterscheiden musst du noch die Nullstellen des Zählers finden.

Polstelle: Zähler ungleich null und Nenner gleich null.

Lücke: Zähler und Nenner gleich null.

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Ja, danke. Da bin ich auch gerade hinter gekommen.
Das mache ich dann gleich.
Aber dann werde ich auch nochmal auf das Grenzverhalten zurückkommen. :-/

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1) Ist der Definitionsbereich richtig angegeben, obwohl 1 eine hebbare Lücke ist?

Eigentlich muss die 1 in der Klammer bleiben, weil der Divisor bei x = 1 sonst 0 wird. Richtig?

2) Ist das so richtig geschrieben? Ich höre gerne jeden Tadel. Im Studium irgendwann kriege ich da ja sonst Abzüge. Und um auf meine letzte Bitte zurückzukommen:

3) Wie schreibe ich das jetzt mit den Grenzverhalten für  beide Asymptote? Kann/soll man auch das Grenzverhalten für die Lücke bestimmen?

Vielen Dank

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Hi,

ich springe mal für Mathecoach ein.

 

1)

Man schaut sich immer die Ursprungsfunktion an und diese erlaubt kein x = 1. Folglich ist der Definitionsbereich völlig richtig.

 

2) Nein, das bei der b) geht so nicht. Das ist nicht sauber aufgeschrieben. Es ist zwar klar was Du meinst, aber die Funktion ist da nicht definiert und das wird dann so wahrscheinlich nicht akzeptiert werden.

Schreibe die Funktion doch in Linearfaktoren:

$$\frac{x^3-3x^2+4x-2}{2x^2-6x+4} = \frac{(x-1)(x^2-2x+2)}{2(x-1)(x-2)} = \frac{x^2-2x+2}{2(x-2)}$$

Jetzt erkennst Du es sofort -> x-1 hebbar, da kürzbar.

x = 2 hingegen ist eine Polstelle.

 

3) Die Frage verstehe ich nicht ganz. Du hast die schiefe Asymptote schon angegeben. Das was Du da gemacht hast, ist völlig ausreichend. Hier brauchts nicht mit Grenzwerten zu arbeiten, da Du durch die Durchführung der Polynomdivision und das rausnehmen des richtigen Terms schon alles gezeigt hast (also insbesondere, dass Du es verstanden hast^^).

Die senkrechte Asymptote kannst Du ebenfalls sofort als x = 2 hinschreiben. Hast sie ja schon als Polstelle identifiziert, dann ist das auch vollens klar ;).

 

Grüße