Extremwertaufgabe - Rechteck in Funktion 1 - x^2

Question

Die Fläche ist begrenzt durch die X-achse und den Graph der Funktion: Ein Rechteck soll in die Funktion 1-x^2 eingeschlossen werden, und davon sollen wir den maximalen Flächeninhalt bestimmen. War das verständlich? Also die Funktion ist ja nach unten geöffnet und die untere Seite des Rechtecks soll quasi die x Achse sein. Wie rechne ich den Flächeninhalt des Rechtecks aus? Wie gehe ich vor?

Answer 1

Nun, die Länge der einen Seite des Rechtecks ist gleich einem Wert x₀ auf der x-Achse und die Länge der anderen Seite der ist der zugehörige Funktionswert f ( x₀ )

Hier eine Skizze der Situation, an der du das erkennen kannst:

Der Flächeninhalt A des Rechtecks ist also:

A ( x₀ ) = x₀ * f ( x₀ )

Es ist nun x₀ so zu bestimmen, dass A maximal wird.

Also zunächst den Funktionsterm von f ( x₀ ) einsetzen:

A ( x₀ ) = x₀ * ( 1 - x₀² )

ausmultiplizieren:

= x₀- x₀ ³

und nach x₀ ableiten:

A ' ( x₀ ) = 1 - 3 x₀²

Nullsetzen der Ableitung ergibt:

1 - 3 x₀² = 0

<=> 1 = 3 x₀²

<=> x₀² = 1 / 3

<=> x₀ = ± √ ( 1 / 3 ) = ± 1 / √ 3

Die negative Lösung entfällt, da x₀ positiv sein soll, also verbleibt x₀ = 1 / √ 3 als einziger Kandidat für eine Maximalstelle von A ( x ).

Prüfen mit A ' ' ( x )  = - 6 x₀ , ob an dieser Stelle tatsächlich ein Maximum vorliegt:

A ' ' ( 1 / √ 3 ) = - 6 * ( 1 / √ 3 ) < 0

also liegt bei x₀ = 1 / √ 3 tatsächlich ein Maximum von A ( x ) vor.

 

Der maximale Flächeninhalt A_max  ist:

A_max ( x ) = A ( 1 / √ 3 )

= ( 1 / √ 3 ) * ( 1 - ( 1 / √ 3 ) ² )

= ( 1 / √ 3 ) * ( 1 - ( 1 / 3 ) )

= ( 1 / √ 3 ) * ( 2 / 3 )

= 2 / ( 3 * √ 3 )

= 2 / √ 27

≈ 0,385