bestimme f' und f" von folgenden LN Funktionen

Question

Haben gestern mit ln Funktionen angefangen ,habe nur bisher noch nicht so wirklich verstanden wie man die rechnet..

Habe hier ein paar Aufgaben zu lösen:

a) f(x)= ln (x^2)
b)f(x)=x + ln(2x)

c)f(x)=x^2 * ln(x)

d) f(x)=ln x : x

e)√ln x

..das sind jedenfalls nur die paar ersten aufgaben , habe noch viele weitere auf. Muss Ableitung und 2. Ableitung bilden, sowie Definitionsmenge.

Könnt ihr mir sagen wie ich dabei vorgehe ? Eventuell Hilfestellung geben ? Wär echt lieb :)

Answer 1

a) f(x) = LN(x^2)   | Kettenregel

f'(x) = 1/x^2 * 2x = 2 * x^{-1}
f''(x) = -2 * x^{-2}

b) f(x) = x + LN(2x)

f'(x) = 1 + 1/(2x) * 2 = 1 + x^{-1}
f''(x) = -x^{-2}

c) f(x) = x^2 * LN(x)  | Produktregel

f'(x) = 2x * LN(x) + x^2 * 1/x = 2x·LN(x) + x
f''(x) = 2·LN(x) + 2x·1/x + 1 = 2·LN(x) + 3

d) f(x) = LN(x)/x   | Quotientenregel

f'(x) = (1/x * x - LN(x) * 1) / x^2 = (1 - LN(x))/x^2
f''(x) = (2·LN(x) - 3)/x^3

e) f(x) = (LN(x))^{1/2}

f'(x) = 1/(2·x·√(LN(x)))
f''(x) = - (2·LN(x) + 1)/(4·x^2·LN(x)^{3/2})

Comments

Hey mathecoach,

Vielen dank für die ausführliche Antwort . Hab den ersten Teil gut verstanden, nur wie bist du bei der d) auf das f" Ergebnis gekommen? Bin schon am rechnen komme aber mit der quotientenregel nie auf das Ergebnis (2* LN(x)-3)/x^3

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Auch Quotientenregel

f'(x) = (1 - LN(x))/x² 

f''(x) = ((- 1/x)*(x^2) - (1 - LN(x))*(2x)) / x^4

f''(x) = (- x - (2·x - 2·x·LN(x))) / x^4

f''(x) = (- 3·x + 2·x·LN(x)) / x^4

f''(x) = (2·x·LN(x) - 3·x) / x^4

f''(x) = (2·LN(x) - 3) / x^3

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Dankeschön :) hat mir sehr weitergeholfen
Jetzt versuche ich die restlichen aufgaben noch zu erledigen!