a) Ich gehe direkt über die Def. des Rangs als Dimension des Spaltenraums. Wir teilen die Matrix F in der Mitte. Der linke Teil hat den Rang von A. Im rechten Teil ist der Rang größer als rang(D), denn: $$ $$ Seien \( (r_i)_{i=1, \ldots t}:=\begin{pmatrix} b_i \\d_i \end{pmatrix} _{i=1,\ldots t} \) die Spalten der rechten Matrix. Ist \( (r_i)_{i \in I}\) lin. unabh. so auch \( (b_i)_{i \in I}\) und \( (d_i)_{i \in I}\). $$ $$ Da C=0, ist der einzige Vektor, der im Schnitt der Spaltenräume der linken und rechten Seite liegt der Nullvektor, daher addieren sich die Ränge. $$ $$ Rückrichtung: Ist eine Matrix invertierbar, so ist der Rang maximal (und umgekehrt). Nach a) also \( rg(F)\leq s+t \) , damit rg(F)=s+t, also invertierbar. \( \\ \) Zur Hinrichung: Sei G die Inverse von F. Wir schreiben G genauso in Blockmatrix-Form: \( G=\begin{pmatrix} X & Y\\Z &W \end{pmatrix} \). Dann ist \(E= GF=\begin{pmatrix}XA & * \\* & * \end{pmatrix} \) und \( E=FG=\begin{pmatrix} * & *\\* &DW \end{pmatrix} \), d.h. XA=E=DW, also sind A und D invertierbar.
