Bestimmen Sie die Extremwerte von f(x,y)= x² y² + x² y + 5x² + 4y³ + 12y²

Question

Bestimmen Sie die Extremwerte der Funktion: f(x,y)= x² y² + x² y + 5x² + 4y³ + 12y²

Comments

Offenbar gibt's ein lokales Minimum bei (0,0). vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%2Cy%29%3D+x²+y²+%2B+x²+y+%2B+5x²+%2B+4y³+%2B+12y²

Answer 1

Berechnung der Extremwerte von f(x,y)= x² y² + x² y + 5x² + 4y³ + 12y²

 

Vorbemerkung:
Extremwerte von f(x,y) können nur in Punkten (x₀, y₀) auftreten, in denen

A die partiellen Ableitungen verschwinden
    f_x= f_y= 0, (sog. stationärer Punkt)

B die partiellen Ableitungen nicht existieren
    speziell: Randpunkte  // wird hier nicht betrachtet

Rechnung:

Berechnung der Koordinaten der Extrempunkte:

f_x= 2x * (y^2 + y + 5)
f_y= 2x^2y + x^2 + 12y^2 + 24y

f_x= 0:
* ist erfüllt für x = 0
* für x =/= 0, kann die Funktion nicht 0 werden, wenn y ∈ ℝ, y ist beliebig

f_y= 0:
* da es nur bei x=0 für f_x die Möglichkeit gibt 0 zu werden braucht bei f_y für x nur 0 eingesetzt werden.
* f_y(x=0, y):  12y^2 + 24 = 0, 12y * (y + 2) = 0. Man erhält also für f_y= 0, y₁= 0 und y₂= -2.

Für die Extrempunkte gilt:
P₁(0, 0), P₂(0, -2)

Bestimmung der Art der Extrempunkte:

f_xx= 2 * (y^2 + y + 5);     f_xx(P₁) = 10;    f_xx(P₂) = 20;
f_xy= 2x * (2y + 1);           f_xy(P₁) = f_xy(P₂) = 0;
f_yy= 2x^2 + 24y + 24;     f_yy(P₁) = 24;   f_yy(P₂) = -24;

 

D(P₁) = 240 > 0 und f_yy(P₁) = 24 > 0  ⇒  rel. Minimum bei P₁(0, 0)
(Skizze: Aus dieser Perspektive kann man gut das Minimum erkennen)

 

D(P₂) = -480 < 0     ⇒ kein Extremwert, Sattelpunkt bei P₂(0, -2)
(Skizze: Aus dieser Perspektive kann man gut den Sattelpunkt erkennen)

(Basierend auf: Merziger, G.; Formeln + Hilfen zur Höheren Mathematik; Binomi Verlag, Hannover 2007; S.132)