Bestimme die Lösung der Differentialgleichung y' + 2y/x = cosx/x

Question

$$ y` + 2·\frac{y}{x} = \frac{\cos(x)}{x} $$

Ich soll die Differentialgleichung zuerst allgemein lösen und dann für die Anfangsbedingung y(pi) = 0.

Jedoch verstehe ich das Lösen von Differentialgleichungen nicht.

Answer 1

Ich folge dem Lösungsvorschlag von WolframAlpha: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27+%2B+2y%2Fx+%3D+cosx%2Fx

y' + 2y/x = cosx/x                      |*x^2

x^2*y' + 2x*y = x* cos x                  |

Subst. u = x^2, u' = 2x

wegen  u * y' + u'*y = (u*y)'

x^2*y' + 2x*y = x* cos x

(x^2 * y) ' = x* cos x             |integrieren links und rechts

x^2* y = ∫ x* cos x dx                |rechts: partiell integrieren

x^2 * y = x*sin x + cos x + C          |:x^2

y = (x*sin x + cos x + C) / x^2

    

Comments

wieso machst du mal x^2 und nicht einfach nur x?

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Weil ich dann x^2 und 2x als Faktoren habe, und die Produktregel der Ableitung dann rückwärts anwenden kann.

Hast du einen einfacheren Vorschlag?

Answer 2

Lösung via Variation der Konstanten:

Comments

Es gilt weiterhin: Bitte keine Bilder.
Gleich zehnmal bei einer so alten Frage. Der Mehrwert so ist fast gleichzusetzen mit 0, da eine Suchfunktion damit Null anfangen kann.