Eigenräume zweier Matrizen? A=(1,1,-1,-2 ; -1,6,-7,-13 ; 1,2,-3,-5 ; -1,1,-1,-2). Eigenwerte {2,-1,0,1}

Question

Ich habe eine Aufgabe, bei der ich von zwei Matrizen die Eigenwerte und Eigenräume berechnen soll, Die Eigenwerte habe ich schon:

Matrizen:

A=(1,1,-1,-2 ; -1,6,-7,-13 ; 1,2,-3,-5 ; -1,1,-1,-2)  Der Eigenwert ist (2,-1,0,1)

B=(10,-4,1,-6 ; 39,-17,5,-26 ; -49,23,-6,33 ; -21,10,-3,15) Eigenwert ist (-1,1,1,1)

Allerdings komme ich mit der Berechnung der Eigenräume nicht klar. Wie macht man das? Ich hoffe auf Hilfe. DANKE!

Comments

Du meinst die Eigenwerte sind bei A die Werte {2,-1,0,1} ?

Oder: Willst du sagen, dass  (2,-1,0,1) ein Eigenvektor von A ist?

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Warum wäre  0  kein vernünftiger Eigenwert?

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hj19: Danke. Kann man vielleicht auch haben. Vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem#Definition

Answer 1

A=(1,1,-1,-2 ; -1,6,-7,-13 ; 1,2,-3,-5 ; -1,1,-1,-2)  Der Eigenwert ist (2,-1,0,1)

Da du hier 4 Eigenwerte hast solltest du auch 4 Eigenvektoren haben. Kannst du die berechnen?

 

B=(10,-4,1,-6 ; 39,-17,5,-26 ; -49,23,-6,33 ; -21,10,-3,15) Eigenwert ist (-1,1,1,1)

Hier hast du ebenfalls 4 Eigenvektoren. Die 3 Vektoren zum Eigenwert 1 spannen dabei einen Vektorraum auf. Dieses ist der Eigenraum zum Eigenwert 1. Also eigentlich ist der Eigenraum nur eine Linearkombination einer Basis.

Comments

Im reellen Fall (um den es hier wohl geht) hat jeder Eigenwert unendlich viele Eigenvektoren. Nicht umsonst ist der Eigenraum ein Unterraum.

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Sollte ich besser Einheitseigenvektoren sagen. Also auf die Länge 1 normierte Eigenvektoren oder was schlägst du vor?

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Bestimme einfach einen möglichen Eigenvektor u≠0 und gib dann den verlangten Eigenraum als Menge an.

M = { v Element R^4| v = k* u, k Element R}
Statt einem Einheitsvektor würde ich wenn möglich Darstellung mit ganzzahligen Komponenten vorziehen.

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@Der_Mathecoach: Das wär besser, allerdings sind das immer noch zwei und oft sind die nicht sonderlich schön hinzuschreiben. Ich wär für Basisvektor/Erzeuger das Eigenraums.

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Es ging ja um die sprachliche Formulierung. 

Da du hier 4 Eigenwerte hast solltest du auch 4 Eigenvektoren haben. Kannst du die berechnen?

Klar sind es schon für jeden Eigenwert unendlich viele Eigenvektoren. Aber nur einer hat die kleinsten Ganzzahligen Elemente. Wie kann ich das am besten formulieren. 

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Formuliere vielleicht irgendwas mit kgv und ggt der Beträge seiner Komponenten. Aber wegen ± gibt's dann immer noch 2.