Prüfungsaufgabe Realschule:
1.0 Die Parabel \( \mathrm{P}_{1} \) verläuft durch die Punkte \( \underline{\mathrm{P}}(-2 \mid-2) \) und \( \mathrm{Q}(8 \mid 3) \). Sie hat eine Gleichung der Form \( y=a x^{2}+b x+3 \) mit \( a \in \mathbb{R} \backslash\{0) \), \( b \in \mathbb{R} \) und \( \mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R} \). Die Parabel \( p_{2} \) besitz die Gleichung \( y=\frac{1}{8} x^{2}-\frac{1}{2} x-2 \) mit \( G=\mathbb{R} \times \mathbb{R} \).
1.1 Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für a und b, dass die Parabel \( \mathrm{P}_{1} \) die Gleichung \( y=-\frac{1}{4} x^{2}+2 x+3 \) besitzt. Zeichnen Sie sodann die Parabeln \( p_{1} \) und \( p_{2} \) für \( \mathrm{x} \in[-2 ; 9] \) in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit \( 1 \mathrm{~cm} ;-3 \leqq \mathrm{x} \leq 10 ;-3 \leqq \mathrm{y} \leqq 8 \).
1.2 Punkte \( \mathrm{A}_{4}\left(x \mid-\frac{1}{4} x^{3}+2 x+3\right) \) aufder Parabel \( p_{1} \) und Punkte \( C_{n}\left(x \mid \frac{1}{8} x^{2}-\frac{1}{2} x-2\right) \) auf der Parabel \( \mathrm{p}_{2} \) haben dieselbe Abszisse \( \mathrm{x} \). Sie sind zusammen mit Punkten \( \mathrm{B}_{\mathrm{n}} \) und \( \mathrm{D}_{\mathrm{n}} \) für \( x \in ]-1,61; 8,28[ \) Eckpunkte von Rauten A, B, C, D mit den Diagonalenschnittpunkten \( M_{n} \).
Für die Länge der Diagonalen \( \left[\mathrm{B}_{2} \mathrm{D}_{4}\right] \) gilt: \( \overline{\mathrm{B}, \mathrm{D}} \), \( =5 \mathrm{LE} \).
Zeichnen Sie die Rauten \( \mathrm{A}_{1}, \mathrm{B}_{1}, \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1} \) für \( \mathrm{x}=1 \) und \( \mathrm{A}_{2} \mathrm{B}_{2}, \mathrm{C}_{2}, \mathrm{D}_{2} \) für \( \mathrm{x}=7 \) in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.
1.3 Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Diagonalen \( \left[\mathrm{A}_{,} \mathrm{C}_{n}\right] \) in Abhängigkeit von der Abszisse \( \mathrm{x} \) der Punkte \( \mathrm{A} \), gilt:
\( \overline{A_{n} C_{n}}(x)=\left(-0,375 x^{3}+2,5 x+5\right) \) LE
1.4 Unter den Rauten \( \mathrm{A}_{n}, \mathrm{B}_{n}, \mathrm{C}_{n} \mathrm{D}_{n} \)gibt es Rauten \( \mathrm{A}_{3}, \mathrm{B}_{3}, \mathrm{C}_{3} \mathrm{D}_{3} \) und \( \mathrm{A}_{4} \mathrm{B}_{4}, \mathrm{C}_{4}, \mathrm{D}_{4} \), für die gilt:
\( \overline{A, B}=\overline{A_{4} B_{4}}= 4 ~LE \)
Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte \( A_{3} \), und \( A_{4} \). Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.
1.5 Unter den Diagonalen \( \left[\mathrm{A}_{0} \mathrm{C}_{3}\right] \) hat die Diagonale \( \left[\mathrm{A}_{0} \mathrm{C}_{3}\right] \) die maximale Länge. Berechnen Sie die Länge der Strecke \( \left[\mathrm{A}_{0} \mathrm{C}_{\mathrm{a}} \mid\right. \) und den zugehörigen Wert für \( \mathrm{x} \).
Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt der Raute \( \mathrm{A}_{\mathrm{e}} \mathrm{B}_{0} \mathrm{C}_{0} \mathrm{D}_{0} \). Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.
[Ergebnis: \( \left.\overline{\mathrm{A} . \mathrm{C}_{\mathrm{a}}}=9,17 \mathrm{LE}\right] \)
1.6 Begründen Sie rechnerisch, dass für das Maß der Winkel \( \angle \mathrm{A}_{n}, \mathrm{D}_{n}, \mathrm{M}_{n} \), gilt: \( \angle \mathrm{A}_{n}, \mathrm{D}_{n}, \mathrm{M}_{n} < 65^{\circ} \)
Gegeben:
Parabel p1: y1=-1/4 * x^2 +2*x+3
Parabel p2: y2=1/8 *x^2-1/2*x-2
Die Punkte An liegen auf p1, die Punkte Cn liegen auf p2. Die Punkte An und Cn haben jeweils die gleiche Abszisse.
Ergebnis aus AnCn (x) =-0,375 * x^2+2,5*x+5
Jetzt meine Fragen:
1) Unter den Rauten AnBnCnDn gibt es 2 Rauten A3B3C3D3 und A4B4C4D4 für die gilt A3B3=A4B4=4 LE. Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte A3 und A4.
2) Begründen Sie rechnerisch, dass für das Mass der Winkel AnDnMn <65 ° gilt.
BnDn ist immer 5 cm
