Lösung des Anfangswertproblems y'= 2xy+e^{x^2} cos x , y(π/2)= 0

Question

 

bestimme die Lösung des AWP y'= 2xy+e^{x^2} cos x , y(π/2)= 0

 

Danke  ☺

Answer 1

1. Lösung der homogenen DGL

y' -  2*x*y = 0

y' =  2*x*y

dy/dx = 2*x*y

dy/y = 2*x*dx        | ∫

ln|y| +c1 = x² + c2

ln|y| =  x² + c2 - c1 = x² + c

Die Differenz zweier Konstanten ist wiederum eine Konstante.

y_H = e^{x2 + c} = e^c* e^x2  = C* e^x2

2. Variation der Konstanten

Ansatz: Die Konstante C in der homogenen Lösung häng von x ab -> C(x)

y_P = C(x)*e^x2  und

y_P' = C'(x)*e^x2 + 2x*C(x)*e^x2

ergeben eingesetzt in die Ausgangsdifferentialgleichung

C'(x)*e^x2 + 2x*C(x)*e^x2 = 2*x*C(x)*e^x2 + e^x2*cos(x)

C'(x)*e^x2 =  e^x2*cos(x)

C'(x) =  cos(x)       | ∫

C(x) = sin(x) + c3

-> y_P = (sin(x) + c3)*e^x2

Gesamtlösung = Homogene Lösung + Partikuläre Lösung (y(x) =  y_H + y_P

-> y(x) = C* e^x2 + (sin(x) + c3)*e^x2

y(x) =  e^x2*(C + (sin(x) + c3)

Die Summe zweier Konstanten ist wiederum 1 Konstante.

y(x) = e^x2*(C + (sin(x))

Anfangsbedingung einsetzen:

y( x= π/2) = e^(π/2)2*(C + (sin(π/2)) = 0

-> e^(π/2)2*(C + 1)= 0

-> C = -1

=> y(x) = e^x2*(-1 + (sin(x)) = e^x2*((sin(x) - 1)