Was sind quadratische Gleichungen?
Manche werden sich wahrscheinlich fragen, was quadratische Gleichungen denn ĂŒberhaupt sind. Nun, dass es eine Gleichung ist das ist ja wohl klar. Aber es ist eine quadratische Gleichung, eine besondere Gleichung. Die ĂŒbliche allgemeine Form einer solchen Gleichung sieht wie folgt aus:
$$a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0\quad\quad(I)$$
Dabei sind a,b und c konstante Variablen sind, sie werden also durch Zahlen ersetzt. Auf dem ersten Blick sieht das nicht leicht aus die obige Gleichung zu lösen... wenn man sich nicht an die Formelsammlung wendet.
Es gibt 2 bekannte Formeln zu quadratischen Gleichungen. Einmal die abc-Formel (auch genannt Mitternachtsformel) und die PQ-Formel, die wahrscheinlich etwas Bekanntere. Ich möchte euch den Umgang mit der abc-Formel anhand Beispielen erklÀren und sie im Nachhinein herleiten/beweisen.
Die abc-Formel
Man nennt sie auch die 'Mitternachts-Formel', das mag komisch klingen, heisst aber deswegen so, weil man sie so gut auswendig kennen sollte, dass man, wenn man um Mitternacht geweckt werden wĂŒrde, die Formel wie aus der Pistole geschossen aufsagen kann. GebrĂ€uchiger ist aber abc-Formel. NĂŒtzlich wird sie sobald man eine Gleichung wie (I) vor sich hat und verzweifelnd versucht die Lösungen heraus 'zuquetschen'. Die abc-Formel besagt nĂ€mlich:
$$\text{Wenn du eine Gleichung dieser Art hast: } a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0 \text{ dann sind ihre Lösungen: }$$
$$ x_{1;2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\quad\quad(II)$$
Ja, ihre Lösungen. Im Gegensatz zu "normalen" Gleichungen wie a+2=4 haben quadratische Gleichungen 2 Lösungen. Falls ihr euch fragt, wieso das so ist, dann sage ich euch: Das kommt dadurch, dass man eine Wurzel zieht (das wird man spĂ€ter in der Herleitung noch sehen). Wenn man eine Wurzel zieht, dann kommt immer ein positives und ein negativ Ergebnis heraus. Daher auch das \(\pm\) in der Lösung, fĂŒr \(x_1\) ein + und fĂŒr \(x_2\) ein -. Wichtig: Man kann die abc-Formel nicht(!) anwenden, wenn a=0 ist.
Beispiel:
Wir mĂŒssen also die Gleichung \(2 \cdot x^2 + 3\cdot x + 1 = 0\) lösen. Also ist: 2 = a, 3 = b und 1 = c. Setzen wir das nun in (II) ein: $$x_{1;2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4\cdot2\cdot1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 1}{4}$$
Somit: \(x_1 = \frac{-3+1}{4} = \frac{-2}{4} = - \frac{1}{2}\) und \(x_2 = \frac{-3-1}{4} = \frac{-4}{4} = -1\)
Das ging schnell und einfach, sehr praktisch und wird sehr oft gebraucht. Vielleicht fragt sich jetzt der ein oder andere: Wie kommt man denn bloss auf so eine raffinierte Formel und wie beweist man das?! Nun, wie man das beweist kann ich euch zeigen:
Herleitung:
(Der Beweis basiert auf quadratische ErgÀnzung)
$$a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0 \text{ | : a }$$
$$ x^2 + \frac{b}{a} \cdot x + \frac{c}{a} = 0 \text{ | quadratische ErgÀnzung}$$
$$x^2 + \frac{b}{a} \cdot x \color{red} + \frac{b}{2a}^2 - \frac{b}{2a}^2 \color{red} + \frac{c}{a} = 0 \text{ binomische Formel}$$
$$ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b}{2a}^2 + \frac{c}{a} =0$$
$$\left( x+ \frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a} $$
$$x_{1;2} = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$$
$$x_{1;2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
Wenn man die abc Formel beherrscht, hat man grosse Vorteile und ist oft schneller am Ziel :-)
