Wenn der Kern von einer Abbildung (Φ) 0 ist - also Kern(Φ)=0, was ist dann die Basis des Kerns?

Question

Ich verstehe den Unterschied zwischen Kern und Basis des Kerns nicht genau. Könntet ihr mir das genauer erläutern?

Answer 1

die Basis eines Kerns, der nur Null ist, ist eine leere Menge (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Nullvektorraum).

Die Schreibweise \( Kern(\Phi) = 0 \) ist eigentlich nicht ganz korrekt, es müsste heißen

\( Kern(\Phi) = \{ 0 \} \).

Mister

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Der Nullvektor ist immer linear abhängig, auch von sich selbst. Wäre die Null eine Basis so wäre {0} eindimensional, also isomorph zum Grundkörper K. Die Basis des Vektorraums der nur Null enthält, ist die leere Menge.

Answer 2

In LinA ist die Basis die Teilmenge eines Vektorraums und mit ihrer Hilfe lässt sich jeder Vektor eindeutig als Linearkombination darstellen.

In der Algebra ist der Kern von einer Abbildung die Menge der Elemente die auf 0 abgebildet werden.

legendär

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und was ist die basis vom kern?

Answer 3

Meinst du vielleicht:

"Wenn der Kern von einer Abbildung (Φ) 0 ist - also Kern(Φ)=0, was ist dann die Basis des Kerns?"

Wenn der Kern einer Abbildung Null ist, besteht er nur aus dem Nullvektor. Da kannst du mE keine Basis angeben.

Inzwischen ist ja geklärt, dass die Basis als leere Menge { } anzugeben ist. 

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Siehe Kommentar zu mister's Antwort.

Die Basis zum Vektorraum {0} ist die leere Menge, siehe z.B. https://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Vektorraum%29#Beispiele