Matrix: Eigenwerte und Dimension bestimmen

Question

Bestimme von folgender Matrix Eigenwerte und Dimension. Ist die Matrix diagonalisierbar.

(5, 4, -2,

0, 4, 0

-2, 5, 4)

Wie muss ich hier vorgehen? Wie kann ich die angegebenen Sachen berechnen?

Answer 1

Hi,

Gesucht sind die Eigenwerte der Matrix A

A=(3−906)

Rechenansatz

(3−906)⋅(xy)=λ⋅(xy)

Ausmultiplizieren

3⋅x+0⋅y=λ⋅x−9x+6⋅y=λ⋅y

Alle Glieder auf die linke Seite bringen

(3−λ)⋅x+0⋅y=0−9⋅x+(6−λ)⋅y=0

Determinante berechnen

χA(λ)=∣∣∣(3−λ)−90(6−λ)∣∣∣=(3−λ)⋅(6−λ)−(−9)⋅0=λ2−9λ+18

Mit Hilfe der Mitternachtsformel berechnen wir die Nullstellen dieser quadratischen Gleichung zu

λ1=3,λ2=6;

Dabei handelt es sich um die beiden Eigenwerte der Matrix.

Ein Beispiel, so gehen die Eigenwerte.

http://www.uni-magdeburg.de/exph/mathe_gl/matrizen.pdf 

Comments

Da du ja nur wissen wolltest wie man das ausrechnet, habe ich absichtlich nicht die direkt Lösung gepostet.

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Danke für deine Antwort und die Links!

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– Nachdem du hier sogar selbst eine Einführung in TeX gegeben hast, könntest du auch wirklich \(\begin{pmatrix}3&-9\\0&6\end{pmatrix}\) statt (3-906) schreiben.

– Wenn man schon von einer Diagonalmatrix das charakteristische Polynom aufstellt, dann muss man doch \((\lambda-3)(\lambda-6)=0\) nicht auch noch mit irgendwelchen Lösungsformeln angehen.