Grenzert berechnen: bn = (√(n+1)-(√n)) / (√(n+1)+√n)

Question

ich habe eine Frage zu folgenden Aufgabe:

b_n = ((√n+1)-(√n)) / ((√+1)+√n)

Soll den Grenzwert davon berechnen. Mein Problem ist, dass ich für Lim (n→∞) = -1 komme!

Jedoch steht in der Lösungskitze der Wert 0 !

Ich habe  die Wurzel von n abgeleitet damit ich auf den Grenzwert komme!

Danke wenn ihr mir helfen könnt!

Comments

Du meinst sicher

b_n = (√(n+1)-(√n)) / (√(n+1)+√n)

Tipp: Erweitere oben und unten mit 3. Binom

(√(n+1)- √n)

Bringt vielleicht nicht so viel:

b_n = (√(n+1)-(√n)) / (√(n+1)+√n) 

=  ((√(n+1)-(√n))(√(n+1) - √n)) / ((√(n+1)+√n) (√(n+1) - √n))

=( (n+1) -2√((n+1)n) + n) / (n+1-n)

=( 2n+1 -2√((n+1)n)) / (1)

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denWürde damit nicht der komplette Nenner 1 werden?

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Ist mir auch gerade aufgefallen. Danke.

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nMan hätte am Ende den bestimmten Ausdruck unendlich minus unendlich

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Wenn n gegen ∞ strebt ,ist √ n+1  ===> √ n -√ n gleich 0  , ist der Grenzwert auch 0!
Dasselbe glit für den Nenner !  Also 0 .

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Ich hätte als Vorschlag vielleicht den Bruch in zwei Brüche aufteilen und auf jeden Bruch den Grenzwert berechnen und zusammensetzen.

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Und dann kürzen sich die Nullen weg zu 1?!

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Unendlich minus Unendlich ist ein UNBESTIMMTER Ausdruck!! Ohje

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ich meinte natürlich UNbestimmten Ausdruck

Answer 1

Umgekehrt:

b_n = (√(n+1)-(√n)) / (√(n+1)+√n)  

=  ((√(n+1)-(√n))(√(n+1) + √n)) / ((√(n+1)+√n) (√(n+1) + √n))

=(n+1-n)/( (n+1) +2√((n+1)n) + n) 

=1/ ( 2n+1 + 2√((n+1)n)) 

nun n---> unendlich

b_n ------> 0

Comments

Du hast jetzt die 3. binomische Formel auf den Zähler angewandt und nicht auf den Nenner, richtig?

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Danke Lu, jetzt ergibt das auch sind für mich!

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ii789 ja genau! Das wollte ich mit 'umgekehrt' sagen.

hh866: Bitte. Gern geschehen!