Bild einer Matrix berechnen

Question

Ich habe folgende Matrix:

(3 4 2

3 0 6

6 2 4)

Um das Bild zu berechnen, habe ich die Matrix zuerst transponiert, dann habe ich sie in Zeilenstufenform gebracht und dann wieder zurück transponiert. Als Ergebnis von diesen Schritten habe ich folgendes:

(3 0 0

3 -4 0

6 -6 -6)

Daraus habe ich geschlossen, dass alle Spalten, in denen nicht ausschließlich Nullen vorkommen, zum Bild der Matrix gehören. Hier gehören somit alle Spalten zum Bild.

Meine Frage ist nun, ob man das so machen kann?

Comments

Also ehrlich gesagt habe ich ein Problem mit dem Begriff "Bild einer Matrix"! Was soll denn das sein? Wie lautet die dazu gehörige Aufgabe?

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Ehrlich gesagt, ist die Aufgabe selber ausgedacht. Wir hatten aber Aufgaben , wo eine Matrix gegeben war und man Bild und noch anderes bestimmen sollte. Deswegen habe ich mich gefragt, ob ich das so, wie oben angegeben machen kann .

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Nehmen wir einmal an, wir haben zwei Vektorräume und weiter eine lineare Abbildung, die jedem Vektor des ersten Vektorraums eindeutig einen Vektor des zweiten Vektorraums zuordnet (Vektorraumhomomorphismus). Dann können wir nach dem Bild dieser linearen Abbildug fragen, das ist die Menge derjenigen Vektoren des zweiten Vektorraums, die ein Urbild im ersten Vektorraum besitzen.

Verschaffen wir uns ferner noch ein Koordinatensystem, indem wir zu jedem Vektorraum ein Tupel von Basisvektoren auswählen, können wir unsere lineare Abbildung durch eine Matrix beschreiben.

Das wären so die groben Voraussetzungen, um zu bestimmen, was das Bild unserer Abbildung ist.

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Aber wie kann ich das jetzt in die Praxis umsetzen?

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Nehmen wir an, die Matrix soll die lineare Abbildung f:ℝ³→ℝ³ beschreiben und unser Tupel von Basisvektoren sei jeweils ( (1 0 0), (0 1 0), (0 0 1) ) (jeweils transponiert), das sind die Vektoren der Standardorthonormalbasis.

Dann erhalten wir ein Erzeugendensystem von Bild(f), indem wir die Matrix mit unseren Basisvektoren multiplizieren.

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Das wären ja dann die Spalten als Vektoren geschrieben ?

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Ja, das wäre so.

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Danke nochmals für deine ausführlichen Erklärungen!

Answer 1

Das bild einer Matrix ist im Grunde vereinfacht Gesagt die Wertemenge die bei Multiplikation mit einem Vektor auftreten kann.

Ich kann dazu die Matrix mit den Vektoren [1, 0, 0], [0, 1, 0] und [0, 0, 1] multiplizieren. Ich erhalten die Vektoren die senkrecht in der Matrix stehen. [3,3,6], [4,0,2] und [2,6,4]

Diese kann ich wie du es gemacht hast auf lineare Abhängigkeit untersuchen. Du bekommst 3 linear unabhängige Spalten. Also den R^3 als Wertebereich oder die Vektoren [1, 0, 0], [0, 1, 0] und [0, 0, 1] als Erzeugendensystem.

Comments

Danke auch an dich für deine Antwort!

Jetzt verstehe ich auch, was ich noch gemacht habe.

Hast du vielleicht noch eine Idee zu meiner anderen Frage mit dem Titel Unabhängige Zyklen berechnen?