Grenzwert beweis. Epsilon Kriterium?

Question

Hi,

lim_n->∞(3n²+3)/(n²+7n)=lim_n->∞(n²(3+3/n²))/(n²(1+7/n)=3/1=3

|a_i-a_n|<ε∀≥N

|3-(3n²+3n)/(n²+7n)|<ε

Nun wie gehts weiter? Ich muss ja n herausfinden?

Comments

Hi,

was ist denn eigentlich die Fragestellung?

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Wie beweise ich, dass der Grenzwert 3 ist? :)

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Das hast du doch bereits in der ersten zeile gemacht.

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Das hab ich doch ausgerechnet und nicht bewiesen?!

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Wo siehst du denn da einen unterschied zwischen den Begriffen? ich seh keinen.

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Also ich meine ich habe das doch oben ausgerechnet, dass der Grenzwert 3 is. Ich will es aber noch beweisen, also nicht rechnen sondern beweisen, dass es wirklich 3 ist

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Jede Rechnung ist ein Beweis. Die Rechnung zeigt, dass der Grenzwert 3 ist, unter Verwendung der Grenzwertsätze.

Answer 1

|3 - (3·n^2 + 3·n)/(n^2 + 7·n)| < ε

|3·(n^2 + 7·n)/(n^2 + 7·n) - (3·n^2 + 3·n)/(n^2 + 7·n)| < ε

|(3·n^2 + 21·n - 3·n^2 - 3·n)/(n^2 + 7·n)| < ε

|(18·n)/(n^2 + 7·n)| < ε

|(18·n)/(n^2 + 7·n)| < ε

|18/(n + 7)| < ε

18/(n + 7) < ε

18 < ε·(n + 7)

18 < ε·n + ε·7

18 - ε·7 < ε·n

(18 - ε·7) / ε < n

Comments

Kurze Frage: Was willst du mit dieser Rechnung aussagen?

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Eigentlich das n > (18 - 7·ε) / ε sein muss damit wir uns in der ε Umgebung um den Grenzwert befinden. 

Ich denke das wollte der Fragesteller wissen.

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Ich hatte deinen Ansatz genommen

|3 - (3·n² + 3·n)/(n² + 7·n)| < ε

Du scheinst dort aber ein n zuviel reingebastelt zu haben. 

Dann wird das Endergebnis falsch. Vielleicht machst du das noch mal ohne n.

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Ah, ok. Wundert mich nur, denn bei mehrfachen nachfragen oben kam es ja eigentlich raus, dass die Fragestellung eine andere war.
Und in einem anderen Thread https://www.mathelounge.de/150156/was-der-losungsweg-dieser-logarithmus-aufgabe-log-120-log-240?state=comment-150159&show=150159#a150159 hatte ich den Eindruck erhalten, dass es hier unerwünschr ist, andere Sichtweisen zu präsentieren.

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Ich begrüße es, wenn hier mehrere Sichtweisen präsentiert und diskutiert werden. Ich habe ja keine Mathematik studiert und würde gerne noch etwas von erfahrenen Mathematikern lernen.

Wenn andere das anders sehen ist mir das aber auch egal. Jeder darf doch seine persönliche Einstellung haben.

Und was die Fragestellung betrifft ist sich der Fragesteller vielleicht selbst nicht so ganz klar. Das liegt aber daran das Emre auch noch kein Mathestudent ist und sich auch nur aus Spaß mit den Themen beschäftigt. Ich habe es so verstanden, dass er nochmal den Grenzwert mit dem ε-Kriterium nachweisen wollte.

Wenn er das anders meint und ich es falsch verstanden habe, darf er sich aber gerne noch korrigieren.

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@Der_Mathecoach:

Danke für diesen freundlich formulierten Kommentar.

Ich bin der, der gestern Abend die Diskussion mit dem TE hatte. Du magst recht haben, dass er das nochmal mit dem epsilon-delta-Kriterium beweisen wollte, nur frage ich mich warum er das dann nicht gesagt hat.

Deine Rechnung und Vorgehen stimmt durchaus allerdings möchte ich als halbwegs erfahrener Mathematiker anmerken, dass man Grenzwerte von konkreten Folgen fast nie mit dem Epsilon-Delta-Kriterium, dafür gibt es ja gerade die Grenzwertsätze.

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du hast es schon richtig gemacht. Genau das wollte ich haben:)

@Gast: Wieso ich das nicht gesagt hab? Ich hab doch gesagt dass ich es beweisen möchte mit dem epsilon kriterium :)

Danke für eure antworten :)

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@emre:
Nein, da hast gesagt, du willst es beweisen. Und das hast du getan, wie ich versucht habe zu erklären.
Du hast nicht gesagt, dass du es mit dem epsilon-delta-kriterium beweisen willst.

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@Gast:

oben frage titel) steht es doch..naja egaal macht nix:)

dankee für deine hilfe:)

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@emre:
Ich hab gestern extra nachgefragt, was die exakte Aufgabenstellung ist, weil der Eröffnungspost verwirrend geschrieben war. Danach sprachst du nie wieder vom Epsilon-Delta-Kriterium.

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ok dann tut es mir leid. Nächstes mal werde ich dann meine Frage besser formulieren.

Answer 2

Wenn Du keine Grenzwertsätze benutzen möchtest, sondern das Epsilon-Kriterium, etwa weil dieses als Definition der Konvergenz einer Folge gegen einen Grenzwert benutzt wurde, musst Du folgendes zeigen:

(*) Zu jedem ε>0 gibt es ein N∈ℕ so, dass für alle n>N gilt:

| (3n²+3)/(n²+7n) − 3 |   <   ε

⇔   | (3n²+3)/(n²+7n) − 3*(n²+7n)/(n²+7n) |   <   ε

⇔   | −18n/(n²+7n) |   <   ε

⇔   | −18/(n+7) |   <   ε

⇔   18/(n+7)   <   ε

⇔   18/ε   <   n + 7

⇔   18/ε − 7  <   n.

Mit N > 18/ε − 7 gibt es offenbar zu jedem ε ein N mit der geforderten Eigenschaft,
also konvergiert die Folge < (3n²+3)/(n²+7n) > gegen ihren Grenzwert 3.


Die Voraussetzungen in (*) lassen sich auch kurz so schreiben:

∀ ε>0 ∃ N∈ℕ ∀ n>N:
(...)

PS: Rechenfehler berichtigt!