Quadratische Funktionen: Scheitelpunkt angeben bei 4 gegebenen Punkten

Question

Bestimme, falls möglich, den Funktionsterm einer quadratischen Funktion, deren Graph durch die angegebenen Punkte geht. Gib jeweils den Scheitelpunkt an.

A(-1/-1)

B(1/-3)

C(2/-2,5)

D(5/5)

 

Bitte um Lösung.

Answer 1

Quadratische Funktionen haben allgemein die Form  f(x) = ax² + bx + c.
Der Punkt  A  soll auf dem Graphen liegen. Das heißt  f(-1) = -1, also
(1)  a - b + c = -1. Die Punkte  B  und  C  liefern zwei weitere Gleichungen.
(2)  a + b + c = -3
(3)  4a + 2b + c = -2,5.

(1) - (2) ergibt  -2b = 2, also  b = -1.
(1) - (3) ergibt  -3a -3b = 1,5, also  a = 0,5.
(2)  ergibt  c = -3 -a -b, also  c = -2.5.

Die Funktion lautet also  f(x) = 0,5x² - x - 2,5.
Wegen  f(5) = 5  liegt auch  D  auf dem Graphen.

Mit quadratischer Ergänzung kann man den Funktionsterm umformen zu
f(x) = 0,5·(x - 1)² - 3.
Der Scheitelpunkt liegt daher bei  S(1|-3).