Differentialquotient: (1/x)' = lim (h->0) (1/(x + h) - 1/x) / h

Question

gesucht ist der Differenzenquotien. Kann mir jemand erklären wie ich den Bruch umstellen sollte? Gesucht ist der Anstieg der Sekante von der funktion f= 1/x an der Stelle a= 1

 \( \frac{\frac{1}{X o+h}-\frac{1}{X o}}{h}= \)

Comments

(- 1)/(x·(x + h))

= -1/(x^2 + xh) die Sekantensteigung entspricht deinem 

 -1/(Xo²+Xoh)      Du musst nur noch die kleinen _o bei allen x ergänzen.

Vergiss nicht am Bildschirm, Zähler und Nenner zu klammern. Es gilt ja Punkt- vor Strichrechnung.

Eure Methode, Ableitungen zu bestimmen, nennt man h-Methode.

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Hallo :-) Ich weiß wie man Differentialquotienten ausrechnet nur wie setze ich das jetzt in f(x) ein?

f(x0+h) - f(x0) :  x0+h - x0

: h

Und wie setze ich Brüche in x0 ein?

f(x)=  2:x

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Habe mir auch angeguckt wie man 1:x differenzialquotient ausrechnen soll aber ich verstehe keine von den Zwischenschritten und wieso man die macht. Deshalb ist mir eigentlich der einfach erklärte Rechenweg wichtiger als Ergebnis :-)

Answer 1

(1/(x + h) - 1/x) / h

x/(x·(x + h)) - (x + h)/(x·(x + h)) / h

(x - (x + h))/(x·(x + h)) / h

(x - x - h)/(x·(x + h)) / h

(- h)/(x·(x + h)) / h

(- 1)/(x·(x + h))

für h --> 0 folgt jetzt

(- 1) / x^2

Comments

Meine Antwort wäre   - 1 / x

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Warum wäre deine Antwort so ?

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weil nach der Sekantensteigung gefragt ist

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Für die Sekante bräuchte man eigentlich 2 Stellen hier ist nur eine Stelle gegeben.

Es sollten also zwei Stellen oder eine Stelle und das h gegeben sein.

Ich könnte bei meiner Antwort nach a = 1 für x einsetzen. Das habe ich nicht gemacht. Ich denke das sollte der Fragesteller selber schaffen.

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Deshalb habe ich im Konjunktiv geschrieben.
Die Aufgabenstellung ist in der Tat unvollständig, lässt aber z.B. folgende Interpretation zu :
Gesucht ist die Steigung der Sekante durch die Punkte X und A   wobei X = ( x | f(x) ) und  A = ( a | f(a) ) auf dem Graphen der Funktion f mit  f(x) = 1/x  liegen und außerdem  a = 1  ist,  also  X = ( x | 1/x ) und  A = (1 | 1)
Das führt auf  m_s =  Δy / Δx =  (1 - 1/x) / (1 - x) = x·(1 - 1/x) / x·(1 - x) = - 1/x

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ich habe für die Stelle a der Funktion f an der Stelle a=1 als Ergebnis -1 raus. (das wäre Anstieg der Tangente)

und für den Anstieg der Sekante -1/Xo^2+Xoh.

In der Aufgabe wird nach der Ableitung der Funktion f an der gegebenen Stelle gefragt, das ist ja dann der Anstieg der Tangente oder ist das richig?

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Ja ich hätte das auch als Anstieg der Tangente gedeutet.

Also ich hätte auch -1 als Ergebnis heraus.

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ok das ist cool, danke