Funktion f gesucht, die periodisch mit 2 ist und gerade?

Question

"Von einer Funktion f ist bekannt, dass sie periodisch ist mit Periode 2 und auch gerade. Für Werte von x zwischen 0 und 1 gilt f(x) = 2-x. Skizzieren Sie den Graphen dieser Funktion."

Ich kann den Graphen zwischen 0 und 1 zeichnen, doch wie bekomme ich die weiteren Werte ausserhalb dieser Grenzen heraus?

Comments

Vielleicht hilft dir:

für eine T-periodische Funktion gilt:

$$f(x\pm T)=f(x)$$

für gerade 2T-periodische Funktionen gilt:

$$f(x+T)=f(x-T)$$

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Kein Problem :)

Answer 1

Ich habe einmal eine kleine Skizze gemacht. Schwarz ist der Teil der Funktion, der vorgegeben war. Grün die Teile, die durch die Periodizität gegeben sind, rot durch die Symmetrieeigenschaft. Eine gerade Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse

Comments

Was bedeutet denn bitte das "T" in "T-periodische Funktion"? Ich dachte, da setzt man den Grad der Periodizität ein im Sinne von "2-periodische Funktion" aber das scheint nochmals was anderes zu sein, als "2T-periodische Funktion".

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Das ist ein wenig "um die Ecke" ausgedrückt, das gebe ich zu. Wenn deine Periode 2 ist, dann ist einer also bei der T-periodischen Funktion T=2. Also $$f(x\pm 2)=f(x)$$ (erste Bedingung)

Da für 2T-periodische Funktionen gilt: $$f(x+T)=f(x-T)$$ bedeutet das in deinem Fall: T=1. Denn 2T=2, was ja deine Periode ist. Also konkret $$f(x+1)=f(x-1)$$

Also wie du gesagt hast: Im ersten Fall den Grad der Periodizität, im zweiten Fall den "halben Grad", weil da ja 2T steht.

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Hallo Mausilein, herzlichen Dank für Deine Hilfe!

Leider will mein Gehirn noch nicht richtig mitkommen. :(

Ich versuch' mal meinen Denkvorgang niederzuschreiben:

1. Für x-Werte zwischen 0 und 1 gilt gemäss Aufgabe f (x) = 2-x. Diesen Teil kann ich zeichnen. Da die Funktion periodisch ist gemäss Aufgabe, kann ich an dieser Stelle annehmen, dass sich dieser Teil der Funktion wiederholen wird und zwar horizontal, da die Funktion gemäss Aufgabe gerade ist und gerade Funktionen symmetrisch bezüglich der y-Achse sind.

Ich muss folglich noch herausfinden, nach welchem "Rhythmus" (nach welchen Perioden) sich die Funktion wiederholt. Denke ich bitte soweit so richtig?

2. Bezüglich periodischen Funktionen steht in meinem Skript:

"Eine Funktion heisst periodisch mit der Periode p(>0), falls gilt: f (x) = f (x±p) für alle x mit x aus D und x±p aus D und p die kleinste Zahl ist mit dieser Eigenschaft."

Ich setze in diese Gleichung f (x) = f (x±p) meine Periode 2 ein und erhalte:

f (x) = f (x±2)

Dies bedeutet ja: Der Funktionswert von f(x) muss dem Funktionswert von f (x±2) entsprechen und genau dann ist diese Funktion periodisch. Gemäss Aufgabe ist diese Funktion periodisch, also muss diese Gleichung gelten.

Setze ich testweise aber 1 ein, dann erhalte ich f(1) = 1 und f(1±2) = 3 und -1. Diese Werte sind nicht gleich. :(

Wo liegt bitte mein Denkfehler?

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Du darfst doch nicht den Funktionswert gleich dem Ergebnis setzen :)
Wenn gilt: f(x)=f(x±2), dan heißt das, dass der Wert der Funktion an der Stelle "x+2" und der Wert der Funktion an der Stelle "x-2" der gleiche ist, wie der Wert der Funktion an der Stelle "x".

Du weißt ja aus deinem Definitionsbereich zwischen 0 und 1, dass f(x)=2-x.

Nun kannst du in diese Funktionsvorschrift aber auch nur die Zahlen zwischen 0 und 1 einsetzen. Du kannst also zum Beispiel die Werte für x=0, x=0,5 oder x=1 berechnen.

f(x=1)=2-1

weil du ja für x die 1 eingesetzt hast. Darum kannst du das nun ausrechnen: f(1)=2-1=1.

Das ist ja noch einfach. Aber wenn du dann Funktionswerte herausbekommen möchtest, für die x kleiner als 0 oder größer als 1 ist, kannst du diese ja nicht mehr in deine Funktionsgleichung einsetzen. Und da kommen eben diese oben genannten Formeln ins Spiel.

Du weißt, dass f(1)=1. Und du weißt, dass f(x±2)=f(x). Daraus schließt du: f(1±2)=f(3)=f(-1)=f(1). Du weißt jetzt also, dass f an den Stellen x=-1 und x=1 und x=3 (und so weiter...) immer denselben Wert hat. Nämlich den Wert, den du an der Stelle x=1 bereits ausgerechnet hast, nämlich 1. Wenn du das einzeichnen möchtest, kannst du also einen Punkt im Koordinatensystem an der Stelle x=1 und y=1 machen. Dann gehst du von dort aus immer um zwei x weiter nach rechts oder links und machst also "bei jedem zweiten x" von dort aus auch einen Punkt bei y.

Da das mit den Punkten etwas mühselig wird, zeichnest du aber am besten erst die Funktion in dem Bereich, in dem sie dir gegeben wurde (in der Skizze also schwarz) und dann wendest du diese Formel an, in dem du diesen Strich, den du ja schon in schwarz gezeichnet hast, genauso nochmal zeichnest. Nur eben im Abstand von 2. Nach links und rechts. So ist in der Skizze die grüne Linie entstanden :)

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Ich habe gerade festgestellt, dass ich mich noch gar nicht bedankt habe: Also herzlichen Dank! (:

Wenn ich das richtig verstehe, braucht man die 2T-Formel aber gar nicht. Ehrlich gesagt verstehe ich diese sowieso immer noch nicht. :/