Wahrscheinlich kann die Klasse der elementaren Funktionen E als eine Konstruktion folgender Form gesehen werden:
1. alle Polynome sind in E
2. die exponentiellen und die Logarithmusfunktionen sind in E
3. die Sinus-und Cosinus-Funktionen sind in E.
4. E ist geschlossen zu Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und deren Zusammensetzung (endlich viele Operationen).
5. E ist die kleinste Menge mit den Eigenschaften 1 bis 4.
Dies gilt sowohl für reelle oder komplexwertige Funktionen.
Der Begriff elementare Funktion wird wahrscheinlich verwendet, da man auf die Funktionen, die elementar sind, mit endlich vielen Operationen aus der Schulmathematik schließen kann.
Beispiele elementarer Funktionen:
f(x) = x^2
g(x) = √x
h(x) = sin(x)
Beispiele nicht-elementarer Funktionen:
- Fehlerfunktion
- Integralkosinus
- Cantor-Funktion bzw. Cantor-Verteilung
Noch ein Hinweis:
Die ursprünglichen elementaren Funktionen sind rationale Funktionen, die mit den Grundrechenarten aufgebaut wurden. Arctan und log zum Beispiel sind notwendig und ausreichend, um rationale Funktionen zu integrieren, während sin, cos und exp die Lösungen der einfachsten Differentialgleichungen sind und als Grundlage für die einfachste Klasse von Differentialgleichungen dienen.
In gewisser Weise sind also trigonometrische Funktionen, log und exp die "nächsthöhere" Sache, die gefunden wurde, als man den Grundrechenarten die Analysis hinzufügte. Aber natürlich ist es etwas willkürlich, da es beispielsweise schwierig ist, den Ausschluss der elliptischen Funktionen aus den elementaren zu rechtfertigen.
