Fläche eines Logos, achsensymmetrisch, maximale Breite g(x)=x^4-3,75x^2-1, h(x)=x^4-3x^2-4

Question

Ich habe in Mathe einige Aufgaben bekommen, die ich lösen muss allerdings schaffe ich es nicht :S Wäre klasse wenn mir jemand helfen könnte.

Aufgabenstellung:

Das Logo der Firma Westwerk ist eine Fläche, deren Rand sich in einem geeigneten Koordinatensystem durch Teile der Graphen der Funktionen g und h mit den Funktionsgleichungen

g(x)=x⁴-3,75x²-1

h(x)=x⁴-3x²-4

beschreiben lässt (siehe Abb. auf Seite 2). Das Logo wird bei dieser Beschreibung durch die Graphen von g und h eingeschlossen. 1 Längeneinheit entspricht 1 cm.

a)

(1) Zeigen Sie, dass das Logo eine achsensymmetrische Figur ist.

(2) Geben Sie die maximale Breite des Logos an.

(3) Die Punkte P und Q liegen zwei Millimeter direkt "unter" den tiefsten Punkten der oberen Begrenzungslinie des Logos. Zur Befestigung verbindet eine Querstrebe die Punkte P und Q.                                                                    Bestimmen Sie rechnerisch die Länge der Querstrebe.

(4) Die Graphen von g und h besitzen jeweils genau zwei Wendepunkte.                                                                    Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Wendepunkte der Graphen der Begrenzungskurven des Logos an verschiedenen Stellen liegen.

b) Zum Firmenjubiläum soll das Logo für verdiente Mitarbeiter in Silber produziert werden. Die Dicke soll 1 mm betragen.

(1) Weisen Sie nach, dass das Volumen von einem Logo 0,8 cm³ beträgt.

(2) Berechnen Sie die Silbermasse, die für 150 Logos benötigt wird.

[ 1 cm³ Silber hat eine Masse von 10,5g.]

 

Wäre echt super toll wenn mir jemand damit helfen könnte :)) Ich verstehe  nur Bahnhof :S

 

Comments

Zu einer ähnlichen Aufgabe , gibt es hier schon eine Lösung: Abiturvorbereitung  nehme ich an!

https://www.mathelounge.de/9807/berechnung-eines-firmenlogos-analysis

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Danke werde ich mir mal angucken und eine Mathe habe ich zum Glück nicht im Abi ;D

Answer 1

g(x)=x⁴-3,75x²-1
h(x)=x⁴-3x²-4

(1) Zeigen Sie, dass das Logo eine achsensymmetrische Figur ist.

Beide Funktionen sind achsensymmetrisch, da in ihnen nur gerade Exponenten vorhanden sind. Damit ist das Logo achsensymmetrisch.

(2) Geben Sie die maximale Breite des Logos an.

g(x) = h(x)
x⁴ - 3,75x² - 1 = x⁴ - 3x² - 4
-3/4x^2 = -3
x = ±2

Die maximale Breite ist damit 4 cm.

(3) Die Punkte P und Q liegen zwei Millimeter direkt "unter" den tiefsten Punkten der oberen Begrenzungslinie des Logos. Zur Befestigung verbindet eine Querstrebe die Punkte P und Q. Bestimmen Sie rechnerisch die Länge der Querstrebe.

Extremstellen von g. g '(x) = 0

g'(x) = 4·x^3 - 7.5·x = x·(4·x^2 - 7.5)

Eine Nullstelle ist bei 0 (Maximum)

4·x^2 - 7.5 = 0
x = √30/4

Die Länge ist also 2 * √30/4 = √30/2 = 2.739 cm

(4) Die Graphen von g und h besitzen jeweils genau zwei Wendepunkte. Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Wendepunkte der Graphen der Begrenzungskurven des Logos an verschiedenen Stellen liegen.

Wendestellen von g. g''(x) = 0

g''(x) = 12·x^2 - 15/2 = 0
x = √10/4

Wendestellen von h(x). h''(x) = 0

h''(x) = 12·x^2 - 6 = 0
x = √2/2

Damit sind die Stellen verschieden.

Skizze:

Comments

Super danke!! Wenn's irgendwie möglich ist, dass mir jemand b auch noch erklärt wäre das echt toll :S Dazu finde ich sonst nichts :(

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b) Zum Firmenjubiläum soll das Logo für verdiente Mitarbeiter in Silber produziert werden. Die Dicke soll 1 mm betragen.

(1) Weisen Sie nach, dass das Volumen von einem Logo 0,8 cm³ beträgt.

d(x) = g(x) - h(x) = x⁴-3,75x²-1 - (x⁴-3x²-4) = -0.75x^2 + 3
D(x) = -0.25x^3 + 3x

A = D(2) - D(-2) = 4 - (-4) = 8 cm^2

V = A * h = 8 cm^2 * 0.1 cm = 0.8 cm^3

(2) Berechnen Sie die Silbermasse, die für 150 Logos benötigt wird. [ 1 cm³ Silber hat eine Masse von 10,5g.]

150 * 0.8 cm^3 * 10.5 g/cm^3 = 1260 g = 1.260 kg

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Lieber Der_Mathecoach,

ich habe die gleichen Aufgaben von meinem Lehrer bekommen, allerdings muss ich nur die unten angeführten Aufgaben berechnen. Wäre es möglich, dass Sie mir zu den Aufgaben den kompletten Lösungsweg schreiben würden? Mein Lehrer hat die Formulierung der Aufgabe a) (4) etwas umformuliert, deshalb wäre es toll, wenn Sie die jeweiligen Wendestellen berechnen könnten.

Aufgabenstellung:

Das Logo der Firma Westwerk ist eine Fläche, deren Rand sich in einem geeigneten Koordinatensystem durch Teile der Graphen der Funktionen g und h mit den Funktionsgleichungen

g(x)=x⁴-3,75x²-1

h(x)=x⁴-3x²-4

beschreiben lässt (siehe Abb. auf Seite 2). Das Logo wird bei dieser Beschreibung durch die Graphen von g und h eingeschlossen. 1 Längeneinheit entspricht 1 cm.

a)

(3) Die Punkte P und Q liegen zwei Millimeter direkt "unter" den tiefsten Punkten der oberen Begrenzungslinie des Logos. Zur Befestigung verbindet eine Querstrebe die Punkte P und Q.                                                                    Bestimmen Sie rechnerisch die Länge der Querstrebe.

(4) Die Graphen von g und h besitzen jeweils genau zwei Wendepunkte.                                                                    Weisen Sie rechnerisch nach, wo die Wendepunkte der Graphen der Begrenzungskurven des Logos sind.

b) Zum Firmenjubiläum soll das Logo für verdiente Mitarbeiter in Silber produziert werden. Die Dicke soll 1 mm betragen.

(1) Weisen Sie nach, dass das Volumen von einem Logo 0,8 cm³ beträgt.

Des Weiteren habe ich ein Problem mit einer anderen Aufgabe zur Vektorrechnung. (Ich kann leider keine großen Klammern um die Vektoren setzen).

Gegeben ist die Ebene E: Vektor x   =  3         2          3

0 + r × 1 + s × 2

2          7          5

Bestimmen Sie für p eine Zahl so, dass der Punkt P in der Ebene E liegt.

P (4Ι1Ιp)

Ich muss die Bearbeitung dieser Aufgaben morgen früh schriftlich abgeben, deshalb wäre es toll, wenn ich heute noch Hilfe bekommen würde.

Lieben Gruß

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Bevor du etwas machst, schau schon mal hier: https://www.mathelounge.de/153306/probleme-mit-differential-vektorrechnung?show=153309#c153309

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(4) Die Graphen von g und h besitzen jeweils genau zwei Wendepunkte. Weisen Sie rechnerisch nach, wo die Wendepunkte der Graphen der Begrenzungskurven des Logos sind.

Wendepunkt von g. g''(x) = 0

g''(x) = 12·x² - 15/2 = 0 
x = √10/4

g(√10/4) = - 189/64 --> Wendepunkte (± 0.79 | - 2.95)

Wendepunkt von h(x). h''(x) = 0

h''(x) = 12·x² - 6 = 0 
x = √2/2

h(√2/2) = - 21/4 --> Wendepunkte (± 0.71 | -5.25)

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Danke für die Hilfe..

Ich habe nur ein weiteres Problem, denn laut meiner Rechnung sind zwar die Wendepunkte ±≈0,79, aber ich bekomme einen anderen y-Wert heraus.. Kannst du mir bitte schreiben, wie du den Wert errechnet hast?

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g(x) = x^4 - 3.75·x^2 - 1

g(√10/4) = (√10/4)^4 - 3.75·(√10/4)^2 - 1 = 25/64 - 3.75·5/8 - 1 = - 189/64

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Des Weiteren irritiert mich das Ende dieser Aufgabe:

(3) Die Punkte P und Q liegen zwei Millimeter direkt "unter" den tiefsten Punkten der oberen Begrenzungslinie des Logos. Zur Befestigung verbindet eine Querstrebe die Punkte P und Q. Bestimmen Sie rechnerisch die Länge der Querstrebe.

Extremstellen von g. g '(x) = 0

g'(x) = 4·x³ - 7.5·x = x·(4·x² - 7.5)

Eine Nullstelle ist bei 0 (Maximum)

4·x² - 7.5 = 0
x = √30/4

Die Länge ist also 2 * √30/4 = √30/2 = 2.739 cm

Wenn ich 2 * √30/4 berechne, kommt bei mir √30 heraus.. Oder hast du wieder einen Zwischenschritt weggelassen?? Ich verspüre das Gefühl, dass ich völlig verzweifle... :-( :-( :-(

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Wenn dort steht 2 * √30/4 dann ist die 4 nicht mit unter der Wurzel. Sonst müsste da stehen 2 * √(30/4).

Die Wurzel geht also nur bis zum nächsten Rechenzeichen wenn keine Klammer existiert.

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Ach sooo.. Dann weiß ich auch jetzt, wieso ich andauernd auf die falschen Ergebnisse gekommen bin.. ;)

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