Question

$$Gegeben ist die Funktion f : x ↦ 2 - √(12-2x) mit maximaler Definitionsmenge D_f = (-∞,6]. Der Graph von f wird mit G_f bezeichnet.

a)Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von G_f mit den Koordinatenachsen. Bestimmen Sie das Verhalten von f für x → -∞ und geben Sie f(6) an.

b)Bestimmen Sie den Term der Ableitungsfunktion f ' von f und geben Sie die maximale Definitionsmenge von f ' an. Bestimmen Sie f '(x), wenn x sich 6 nahert. Beschreiben Sie die daraus folgende Eigenschaft von G_f.

c) Geben Sie das Monotonieverhalten von Gf und die Wertemenge von f an.

d) Die Funktion f ist in D_f  umkehrbar. Geben Sie die Definitionsmenge der Umkehrfunktion f ^-1 von f an und zeigen Sie, dass f ^-1(x) = - 1/2x² +2x+4 gilt.

Ich brauche Hilfe. Kann mir jemand die Lösungen erklären?$$

Answer 1

Teil (a) Wenn \( \lim_{x \to -\infty} \) geht, dann geht \( 12-2x \) gegen \( +\infty \) also \( \sqrt{12-2x} \) gegen \( +\infty \)

Beim zweiten Teil musst Du nur 6 einsetzten und alles ausrechnen.

Teil (b) Leite das doch mal ab und schreib was raus kommt (Eigeninitiative ist gefragt)

Teil (c) Jenachdem ob \( f'(x) > 0  \) oder \( f'(x) < 0  \) ist die Funktion monoton steigend oder fallend.

Teil (d) Die Variablen x und y vertauschen und nach y auflösen.

Comments

Ich verstehe nicht wie du das in Teil (d) meinst, die Variablen x und y vertauschen. Kannst du mir das vielleicht näher erläutern?

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$$  y=2 - \sqrt{12-2x} $$

Die Umkehrfunktion kann man berechnen, in dem man x mit y vertauscht und wieder nach y auflöst.

Also

$$  x=2 - \sqrt{12-2y} $$

Jetzt die Wurzel isolieren, quadrieren und nach y auflösen.

Answer 2

$$f(x)= 2 - \sqrt{12-2x} $$
Achsenschnittpunkte bei x=0 und f(x)=0
$$f(0)= 2 - \sqrt{12-2\cdot 0} $$
$$0= 2 - \sqrt{12-2x} $$
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