komplexe Lösungen berechnen von 2z^2 + 2(zQUER)^2 = 2+i

Question

Komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: 

$$2z^2+2\overline{z}^2 \cdot \textrm{i} = 2 + \textrm{i} \\$$

Was bedeutet der Strich über dem z?

Eigentlich heißt es doch, dass sich das Vorzeichen vor der Zahl ändert oder?

Comments

Der Strich soll verhindern, dass es dem z auf den Kopf regnet...

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Ok, ich ergänze noch etwas:
$$ 2z^2+2\overline{z}^2 \cdot \textrm{i} = 2 + \textrm{i} \\ \Leftrightarrow\\ 2\cdot\left(a+b \cdot \textrm{i} \right)^2 + 2\cdot\left(a-b \cdot \textrm{i} \right)^2 = 2 + \textrm{i} \\ \Leftrightarrow\\ ... $$
Die komplexe Zahl und ihre Konjugierte unterscheiden sich im Vorzeichen ihrer Imaginärteile, falls die von Null verschieden sind. Die Konjugation wird durch den Überstrich gekennzeichnet.

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Achsoo ich wusste nicht mal, dass für das z etwas eingesetzt wird -.-

Vielen dank! Das kann ich jetzt auch nachvollziehen und im Nachhinein ist es auch einleuchtend.

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Bitte! Leider habe ich etwas Wichtiges vergessen, hier die berichtigte Version:
$$ 2z^2+2\overline{z}^2 \cdot \textrm{i} = 2 + \textrm{i} \\ \Leftrightarrow\\ 2\cdot\left(a+b \cdot \textrm{i} \right)^2 + 2\cdot\left(a-b \cdot \textrm{i} \right)^2\cdot \textrm{i} = 2 + \textrm{i} \\ \Leftrightarrow\\ ... $$

Answer 1

2(a+ib)^2 + 2(a-ib)^2 = 2 + i

2( a^2 + 2abi - b^2) + 2(a^2 - 2abi -b^2) = 2+i

2a^2 + 4abi -2b^2 + 2a^2 - 4abi - 2b^2 = 2 + i

4a^2 - 4b^2 + 0i = 2+i

Nun Real- und Imaginärteil trennen:

Realteil: 4a^2 - 4b^2  = 2 ist gar nicht mehr wichtig, denn:

Imaginärteil: 0i=1i ---> 0=1  geht nicht → Die gegebene Gleichung hat keine Lösung. L = { }

Comments

Aus der Theorie solltest / könntest du eigentlich wissen, dass

z^2 + zQUER^2 immer eine reelle Zahl gibt. D.h. 2+i (irreale Zahl) als Ergebnis ist gar nicht möglich.

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Hi, das Problem hatte ich auch. Ich habe da noch ein i hinzugefügt; ob das so gemeint war weiß ich allerdings auch nicht.

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Nein. Du darfst links nicht einfach ein i dazufügen. Die Lösungsmenge ist einfach die leere Menge L={ }.

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Ja, so wie die Gleichung da steht, hat sie keine Lösung. Ich habe mehr oder weniger intuitiv die Aufgabenstellung angepasst. Das ist zugegebenermaßen nicht wirklich korrekt.

Ist die Originalaufgabe überhaupt eine Gleichung oder etwa ein Term?

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1. Das ist eine Gleichung. Aber eine mit einer leeren Lösungsmenge. Gleichungen bestehen aus zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind.
2. Wenn links von deiner Gleichung noch + i stehen würde, hätte deine Menge in der komplexen Zahlenebene die Form einer Hyperbel: https://www.wolframalpha.com/input/?i=4a%5E2+-+4b%5E2++%3D+2

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Danke, das ist mir bewusst. Ich wollte lediglich erklären, warum ich -- unbewusst -- ein i in die Gleichung eingefügt habe. Ob die rechte Seite Teil der Originalaufgabe ist oder Ergebnis der Bearbeitung durch den Fragesteller, wissen wir nicht, daher meine diesbezügliche Frage.