Produktregel und Kettenregel AB

Question

Guten Tag leute,habe hier eine Aufgabe die ich überhaupt nicht verstehe könnt ihr paar Aufgaben berechnen mit Erklärung (oder ohne) damit ich durch die Rechnung dies verstehe ,danke leute

Gib die 1. Ableitung an.

a) \( f(x)=x^{2} e^{-(1+x)^{2}} \)
b)  \(f(x)=e^{x^{2}} \sqrt{x}\)
c) \( f(x)=\sqrt{x^{2} e^{-x}} \) 
d) \( f(x)=e^{x^{2} \sqrt{x}} \)
e) \( f(x)=\frac{e^{x^{2}}}{x} \)
f) \( f(x)=\left(1+e^{-x}\right)^{2} \)
g) \(f(x)=e^{\frac{x^2}{\sqrt{x}}}\\\)
h)  \( f(x)=e^{-\sqrt{| 1+2 x}} \)
i) \( f(x)=\sqrt{e^{x^{3}}} \)
j) \( f(x)=x^{2}\left(e^{x} \sqrt{x}\right)^{2} \)

Bilde die 1. Ableitung.
a) \( f(x)=\left(2 x^{2}\right)^{3} \)
b) \( f(x)=\left(1-x^{3}\right)^{2} \)
c) \( f(x)=\sqrt{2-x^{2}} \)
d) \( f(x)=e^{(1+x)^{2}} \)
e) \( f(x)=e^{\frac{1}{x}} \)
f) \( f(x)=e^{\sqrt{x}} \)
g) \( f(x)=\sqrt{e^{x}} \)
h) \( f(x)=e^{-x^{2}} \)
i) \( f(x)=e^{-\frac{1}{2}(x-1)^{2}} \)
j) \( f(x)=e^{-\frac{2}{\sqrt{x}}} \)

ok könnt wenn ihr wollt pro Aufgabe zwei Rechnungen machen also Aufgabe 1 z.b. a) und b) damit ich das nachvollziehen kann danke

,

Einstein

Answer 1

1a)     Produktregel   u=x^2      v=e^{-1-2x-xhoch2}
Dazu brauchst du u'=2x     und v'=(-2-2x)*e^{-1-2x-xhoch2}
Regel sagt    u*v' + v*u'   also   f ' (x) = x^2*(-2-2x)*e^{-1-2x-xhoch2} + 2x*e^{-1-2x-xhoch2}
jetzt vielleicht noch das e hoch  tralala ausklammern gibt
                                                    (    x^2(-2-2x) + 2x  ) * e^{-1-2x-xhoch2}
                                                        = (-2x^2 - 2x^3 +2x) * e^{-1-2x-xhoch2}

z.B. bei Teil e)schreibst du besser     x^{-1}*e^xquadrat)
Dann wieder mit u und v
                    u=x^{-1} also u ' =-1*x^{-2}             
und            v= e^xquadrat) also v ' = Abl. von xquadrat) * e^xquadrat)  [Kettenregel!]
                                                            = 2x * e^xquadrat)
Jetzt wieder in die Produktregel einsetzen.

Ich mach mal noch 2c). Wurzel geht mit hoch o,5.
also f(x) = (2-x^2)^{0,5}   Also f ' (x) = Abl. von der Klammer * o,5 * (2-x^2)^{-0,5}
also      -2x*0,5 * (2-x^2)^{-0,5}   =  -x * (2-x^2)^{-0,5}.   Fertig!

Answer 2

2.a.)
f ( x ) = ( 2 * x^2 )^3 = 2 * x^2 * 2 * x^2 * 2*x^2
f ( x ) = 8 * x^6
( a * x^b ) ´ = a * b * x^{b-1}
f ´( x ) = 48 * x^5

2b.)
f ( x ) = ( 1 - x^3 )^2
( term ^b  ) ´ = b * term^{b-1} * term ´
f ´( x ) = 2 * ( 1 - x^3 ) * ( - 3* x^2 )

2c.)
f ( x ) = √ ( 2 - x^2 )
( √ term ) ´ = term ´ / ( 2 * √ term )
f ´( x ) = ( -2x ) / ( 2 * √ ( 2 - x^2 ) )

2d.)
f ( x ) = e^{(1+x)^2}
( e^term ) ´ = e^term * term ´
f ´ ( x ) = e^{(1+x)^2}  * 2 * ( 1 + x )

Answer 3

Du kannst alle Ableitungen selber von Wolframalpha machen lassen.

https://www.wolframalpha.com

Auf dem Smartphone kann man sich sogar eine Schritt für Schritt Lösung anzeigen lassen.

Wenn du mit einer Lösung nicht klar kommst dann frag aber gerne nochmals nach.

Answer 4

So, hier mal ein Rätselchen:
$$ \textrm{1.c}\quad f\left(x\right)=\sqrt{x^2\cdot \textrm{e}^{-x}},\quad f'\left(x\right) = \frac { \left(2-x\right)\cdot x \cdot \textrm{e}^{-x} }{ 2 \cdot \sqrt{x^2\cdot \textrm{e}^{-x}} } $$ Abgeleitet habe ich mit den angegebenen Regeln und dann etwas ausgeklammert.

Nun sind wir aber noch nicht fertig, denn die angegebene Ableitung ist an der Stelle x=0 nicht definiert, die Funktion selbst allerdings schon. Es bleibt also noch zu utersuchen, ob die Funktion an der Stelle x=0 ableitbar ist oder nicht.

Comments

Schönen Dank für das Rätselchen.

Solch´ ein Fall kam auch einmal in einer bayerischen
Mathe-Abitur-Arbeit vor.

Die Funktion f ist stetig und hat im Punkt ( 0  | 0 )
einen Extremwert.

Nun sind wir aber noch nicht fertig, denn die angegebene
Ableitung ist an der Stelle x=0 nicht definiert

Dann wären wir ja doch fertig.

Zudem : Differenzierbarkeit
linker Grenzwert Steigung = Steigung = rechter Grenzwert Steigung
-1 = nicht vorhanden = 1

Auch sind der linke und rechte Grenzwert der Steigung  nicht gleich.

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"Dann wären wir ja doch fertig."
Nein. Es könnte ja sein, dass die Ableitung in 0 zwar existiert, aber eben nicht mit diesem Term berechnet werden kann, der oben steht. Diese Begründung reicht also noch nicht.

Die andere Begründung sollte passen.

Aber Achtung: Es kann auch folgendes passieren: rechts-/linksseitiger Grenzwert der Ableitung an einer Stelle existiert nicht, trotzdem existiert die Ableitung an dieser Stelle. Es gibt also Funktionen \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), die zwar überall differenzierbar sind, aber deren Ableitung an einer Stelle unstetig ist.

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Ich hatte zunächst versucht über l´Hospital die 1.Ableitung
für x = 0 zu berechnen, aber selbst mein Matheprogramm
kann bei ( mehrmals ) l´Hospital nicht weiter.

Deshalb habe ich von Hand ( !!! ) den links- und rechtsseitigen
Grenzwert berechnet.

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Gib einmal ein Beispiel für Aber Achtung

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\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=\begin{cases}x^2\cdot \sin(\frac{1}{x}), & x\neq 0 \\ 0, & x=0\end{cases}\)

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So kompliziert ist es übrigens gar nicht, zu zeigen, dass die Ableitung in 0 nicht existiert (L'Hospital ist nicht nötig):

\(\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^2\cdot e^{-x}}}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{|x|\cdot \sqrt{e^{-x}}}{x}\quad (*)\)

Jetzt rechts- und linksseitigen Grenzwert:
\(\lim_{x\searrow 0}\frac{|x|\cdot \sqrt{e^{-x}}}{x}=\lim_{x\searrow 0}\frac{x\cdot \sqrt{e^{-x}}}{x}=\lim_{x\searrow 0}\sqrt{e^{-x}}=\sqrt{e^0}=1\)
\(\lim_{x\nearrow 0}\frac{|x|\cdot \sqrt{e^{-x}}}{x}=\lim_{x\searrow 0}-\frac{x\cdot \sqrt{e^{-x}}}{x}=\lim_{x\searrow 0}-\sqrt{e^{-x}}=-\sqrt{e^0}=-1\)

D.h. rechts- und linksseitiger Grenzwert sind unterschiedlich, deswegen existiert der Grenzwert \((*)\) nicht.

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Wir reden aneinander vorbei.
Deshalb habe ich von Hand ( !!! ) den links- und rechtsseitigen
Grenzwert berechnet.
Auch ohne l´Hospital. Ähnlich deiner Berechnung.