f((x+y)/2) <= 1/2*f(x) + 1/2*f(y)

Question

die Aufgabe lautet,

Sei f:(a,b) → ℝ stetig, dann gelte für alle x,y ∈ ℝ:

f((x+y)/2) ≤ 1/2*f(x) + 1/2*f(y).

Zeige, dass f konvex ist.

Meine Ideen:

Ich weiß, dass es die Definition von Konvexität ist (zum Teil zumindest).

Def. von Konv.: f((1-t)*(x+y)) ≤ (1-t)*f(x) + t*f(y) für alle x ≤ y ∈ ℝ mit t ∈ [0,1].

Wie gehe ich da denn jetzt weiter vor? Kann ich noch was mit Stetigkeit oder Mittelwertsatz machen?

Answer 1

Ich denke Du musst \(  t=\frac{1}{2} \) setzten und alles ist gezeigt,

Comments

und alles ist gezeigt
muss richtig heißen . "und die Umkehrung der Behauptung ist gezeigt"

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Ja, das t=1/2 sein muss, ist mir klar. Aber ich muss ja zeigen, dass das für alle x,y aus R gilt.

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Danke ullim und Georgborn.

Ich habe es jetzt (anders) lösen können, also kann die Frage geschlossen werden :)

Answer 2

Für eine Gerade als Verbindung zwischen den Punkten
gilt auch
f((x+y)/2) ≤ 1/2*f(x) + 1/2*f(y) bzw. der darin eingeschlossene Fall
f((x+y)/2) = 1/2*f(x) + 1/2*f(y)

Zeige, dass f konvex ist
f muß also nicht konvex sein.

Comments

An Frager und Antworter :

Wenn man die Definition des Begriffes "konvex" kennt, ist es gut, dann kann man sinnvoll mitdiskutieren. Wenn nicht, ist es auch nicht schlimm, dann kann man sich vor dem Abfassen eines Beitrages informieren.

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