Betriebsoptimum - Hilfe bei der Berechnung

Question

Betriebsoptimum

Ausbringungsmenge \( x_{BO} \), bei der die geringsten Stückkosten k entstehen.

k'(x) = 0, k''(x) > 0, K'(x) = k(x)

Beispiel: \( k'(x) = \frac{2}{3} x - 3 - \frac{20}{x^2} = 0\)

\( x_{BO} = 5,499 \)

Comments

Das über Betriebsoptimum ist für die Frage völlig unrelevant.

mit xGG war hier vermutlich die GG = Gewinngrenze gemeint. Aber wie gesagt ist das für das Betriebsoptimum nicht relevant.

Ich beantworte die Frage mal.

Answer 1

Du hast eine Stückkostenfunktion k und deren Ableitung k´.

Gesucht ist das Betriebsptimum, also die Minimalstelle von k.

notwendige Bedingung: k´(x) = 0

Multipliziere dazu die Gleichung mit k² und du erhältst eine kubische Gleichung.

Die zu lösen ist ein Problem: Im Rahmen der Schulmathematik muss man entwede probieren (kann dauern) oder graphisch arbeiten (kann ich dir erklären, wenn du willst) oder man benutzt ein Gerät (Taschenrechner mit nsolve oder CAS oder Geogebra oder ...)

Mehr dazu unter www.mathebaustelle.de/glossar/betriebsoptimum.pdf

betriebsoptimum.pdf (0,2 MB)

Answer 2

2/3·x - 3 - 20/x^2 = 0

2/3·x^3 - 3·x^2 - 20 = 0

Dieses ist eine kubische Gleichung. Die Lösung kann man über ein Näherungsverfahren (z.B. Newtonverfahren) oder direkt über Rechnereinsatz ermitteln.

Ich bekomme über den Rechner ein Ergebnis von x = 5.494

Es sieht also so aus als habe sich euer Lehrer bei der Angabe der Lösung etwas vertan.

Aber damit k'(x) = 2/3·x - 3 - 20/x^2 wäre, müsste die Kostenfunktion K(x) = 1/3·x^3 - 3·x^2 + 20 sein. Wenn man sich deren Verlauf allerdings ansieht merkt man auch das dies gar keine gültige Kostenfunktion ist. Also es gibt hier mehrere Ungereimtheiten. Das ist allerdings nicht so wichtig, denn das Prinzip sollte damit klar sein.