Wie kann man mit vollständiger Induktion beweisen, dass die Folge monoton wachsend ist?

Question

Gegeben ist rekursiv definierte Folge:

\( a_{1}:=1, \quad a_{n+1}:=\sqrt{1+a_{n}}, \quad \) für alle \( n \in \mathbb{N} \)

Wie kann man mit vollständiger Induktion beweisen, dass die Folge monoton wachsend ist?

\( a_{n} \leq a_{n+1} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \)

Answer 1

x < √(1 + x)
x^2 < 1 + x
x^2 - x - 1 < 0
1/2 - √5/2 < x < √5/2 + 1/2

Ich nehme als Grenzwert √5/2 + 1/2 an.

√5/2 + 1/2 > √(1 + x)
√5/2 + 3/2 > 1 + x
x < √5/2 + 1/2

Solange x < √5/2 + 1/2 ist der Nachfolger also kleiner dem Grenzwert.

Comments

vielen Dank. Ich würde aber gerne sehen wie es mit der Vollständigen Induktion gemacht werden kann