Aufgabe 1:
Konvergenz von Folge bestimmen:
\( d_{n}=\left(\frac{4 n+5}{4 n}\right)^{3 n} \)
Meine Lösung:
\( \underset { n->\infty }{ lim } =\left( \frac { 4n+5 }{ 4n } \right) ^{ 3n }=\underset { n->\infty }{ lim } \left( \left( \frac { 4n }{ 4n } +\frac { 5 }{ 4n } \right) ^{ n } \right) ^{ 3 }=\left( \underset { n->\infty }{ lim } \left( 1+\frac { 5/4 }{ n } \right) ^{ n } \right) ^{ 3 }=({ e }^{ 5/4 })^{ 3 }=e^{ 125/64 } \)
Aufgabe 2:
Konvergenz von Folge bestimmen:
\( e_{n}=\frac{(-1)^{n}+15 \cdot 7^{n-1}}{10 \cdot 4^{n+2}-3 \cdot 7^{n+1}} \)
Meine Lösung:
\( \underset { n->\infty }{ lim } \left( \frac { (-1)^{ n }+15+{ 7 }^{ n-1 } }{ 10*4^{ n+2 }-3*{ 7 }^{ n+1 } } \right) =\underset { n->\infty }{ lim } \frac { { 7 }^{ n } }{ { 7 }^{ n } } *\frac { { 7 }^{ -1 }*15+\left( \frac { -1 }{ 7 } \right) ^{ n } }{ 10*\left( \frac { 4 }{ 7 } \right) ^{ n+2 }-3*{ 7 }^{ 1 } } =\frac { \frac { 1 }{ 7 } *15 }{ -3*7 } =\frac { \frac { 15 }{ 7 } }{ -21 } \)
Ich vermute stark, beim Ausklammern von 7n etwas falsch gemacht zu haben...bzw. beim letzten lim war ich mir nicht sicher, ob 10*(4/7)^n+2 zu 0 wird. In der Potenz steht ja n+2, n strebt gegen unendlich, da sollte die +2 eigentlich nichts ausmachen. Somit wird der Bruch irgendwann zu 0 und 10*0 = 0, dieser Teil fällt also weg. So habe ich mir das jedenfalls gedacht.
