Alle Extremstellen der Sinusfunktion f(x) = 5 • sin(π/50 • (x+25)) + 6

Question

Kann  mir jemand ausführlich erklären, wie man alle Extremstellen dieser Funktion

f(x) = 5 • sin(π/50 • (x+25)) + 6

berechnet?

Die erste Ableitung lautet:

f'(x)=  π/10 • cos(π/50 • (x+25)

Danke euch!

Answer 1

f(x) = 5 • sin(π/50 • (x+25)) + 6

Du weisst bestimmt ,dass der sin(u) Maximalstellen hat bei

u_k = π/2 + 2kπ   , k Element Z

und Minimalstellen bei

u_k = 3π/2 + 2kπ, k Element Z

f(x) = 5 • sin(π/50 • (x+25)) + 6

5 und 6 haben auf die x-Werte der Extrema keinen Einfluss. 5 ist eine Streckung in y-Richtung. + 6 danach noch eine Parallelverschiebung nach oben.

Daher nun einfach das Argument von sin bei u_k einsetzen:

Du weisst bestimmt das der sin(u) Maximalstellen hat bei

π/50 • (x_k+25) = π/2 + 2kπ         (I)

und Minimalstellen bei

π/50 • (x_k+25) = 3π/2 + 2kπ         (II)

(I) und (II) nach x_k auflösen.

Comments

Maximalstellen:

π/50 • (x_k+25) = π/2 + 2kπ  

1/50 • (x_k+25) = 1/2 + 2k

x_k + 25 = 25 + 100k

x_k = 100k  , k Element Z

Minimalstellen:

π/50 • (x_k+25) = 3π/2 + 2kπ   

1/50 • (x_k+25) = 3/2 + 2k

x_k + 25 = 75 + 100k

x_k = 50 + 100k   , k Element Z

Zusammengenommen: Extremstellen sind alle durch 50 teilbaren Zahlen.

Also 

x_k = 50k , k Element Z.

(Ohne Gewähr! Bitte selbst nachrechnen).

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Ich hab eine Frage .. Zu deinem Schritt:

 π/50 • (x_k+25) = π/2 + 2kπ   

und 

π/50 • (x_k+25) = 3π/2 + 2kπ

Woher weiß man, dass sin(u) genau da Maximal - und Minimalstellen hat? Und wie kommst du danach auf "π/2 + 2kπ" und "3π/2 + 2kπ" ?

Und noch eine weitere Frage. Brauch man nicht die 1. Ableitung um Extremstellen zu berechnen? Ich dachte man müsse die erste Ableitung immer null setzen, um Extrema herauszubekommen .. bin mir aber unsicher..

Ich danke dir für deine Mühe und Hilfe. Eine echt nachvollziehbare und ausführliche Erklärung :)

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Die Extremalstellen kennt man von hier:

https://www.youtube.com/watch?v=qJOIoWTLkGY

bzw. hier: https://www.matheretter.de/wiki/einheitskreis

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Ich muss die erste Ableitung also nicht null setzen?

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Deine Rechnungen sind korrekt.

Ich weiß nur immer noch nicht wie sich diese Gleichungen

π/50 • (x_k+25) = π/2 + 2kπ 

und 

π/50 • (x_k+25) = 3π/2 + 2kπ  

zusammensetzen .. Woher weißt du das? (Hab mir das Video auch angeguckt, verstehe es trotzdem nicht!) 

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sin(u) Maximalstellen hat bei

u_k = π/2 + 2kπ   , k Element Z

und Minimalstellen bei

u_k = 3π/2 + 2kπ, k Element Z

Das sollte im Video klar geworden sein. Vielleicht noch in Grad umgeschrieben:

sin(u) Maximalstellen hat bei

u_k = 90° + k*360°   , k Element Z

und Minimalstellen bei

u_k = 270° + k*360°, k Element Z

Und nun wie beschreiben das Argument des Sinus links in die Gleichungen schreiben und auflösen.