Berechnung von linearer Unabhängigkeit im R^4. U = Lin((2,3,0,1) , ( 2,0,0,-1) , (-2,3,0,3))

Question

Im ℝ⁴ seien zwei Untervektorräume U und V gegeben durch

U = Lin((2,3,0,1) , ( 2,0,0,-1) , (-2,3,0,3))

V= Lin((0,3,1,2) , (0,0,1,0))

Bestimmen sie jeweils eine Basis zu U , V und U+V. Was sind die jeweiligen Dimensionen?

Basis bestimmen:

Zeige lin. unabhängigkeit

2 2 -2 |  0

3 0  3 | 0

0 0  0 | 0

1 -2 3 | 0

bekomme somit

0 0 0 | 0

3 0 3 | 0

0 0 0 | 0

0 -4 8 | 0

Somit sind 2 vektoren linear abhängig und 2 lin. unabhängig? Bedeutet das, dass die Dimension von U 2 ist? Und was ist dann die Basis von U?

Answer 1

bekomme somit

0 0 0 | 0

3 0 3 | 0

0 0 0 | 0

0 -4 8 | 0

Somit sind 2 vektoren linear abhängig und 2 lin. unabhängig? Bedeutet das, dass die Dimension von U 2 ist? Und was ist dann die Basis von U?

Nein, nicht ganz:   Dei drei Vektoren sind lin.abh. und zwar zeigt deine Rechnung:

es genügt für die Faktoren zu wählen

-4x2=8x3    und   3x1 = -3x3

also z.B. für x3=-1 ist

(1,2,-1) eine Lösung also gilt für die drei Vektoren

1*v1 + 2*v2 = v3.  Deshalb wird mit v3 nicht neues erzeugt, was nicht schon mit v1 und v2

erzeugt werden könnte. Diese beiden sind allerdings lin.un. bilden also eine Basis

und deshalb ist dim=2.

Comments

Danke hab das soweit verstanden.

Somit ist V= Lin((0,3,1,2) , (0,0,1,0)) mit den vektoren v1 und v2 linear unabhängig und diese bilden dann eine Basis von V mit der dimension 2.

Wie muss man nun U + V betrachten?

Nimmt man die Basisvektoren und addiert ihre Werte oder nur die Vektoren z.b W ( = U + V) = u1 u2 v1 v2 ?

Den rest wüsste ich dann ja.