Matrix/Vector, eigenvalue and eigenvector

Question

Multinational companies in the US, Japan, and Europe have assets of $4 trillion.

At the start in year 0, $2 trillion are in the US, and $2 trillion in Europe. Each year 1/2 the US money stays home, 1/4  goes both to Europe and Japan. For Europe and Japan, 1/2  stays home and 1/2  is sent to the US.

(i) Find the matrix that gives

\( \left(\begin{array}{c} U S \\ J \\ E \end{array}\right)_{\text {year } t+1}=A\left(\begin{array}{c} U S \\ J \\ E \end{array}\right)_{\text {year } t} \)

(ii) Find the eigenvalues and eigenvectors of A.

(iii) Find the distribution in year t.

(iv) Find the limiting distribution of the $4 trillion as the world ends (t → ∞).

Answer 1

\( A=\left(\begin{array}{ccc}1 / 2 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ 1 / 4 & 1 / 2 & 0 \\ 1 / 4 & 0 & 1 / 2\end{array}\right)=1 / 4\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right) \)

Oben mein Vorschlag für deine Matrix A. Kontrolliere erst mal, ob das passen könnte.

Zu Beginn ist keine der 4 Billionen in Japan.

Also (US, J , E ) = (2, 0, 2) im Jahr 0.

Comments

Ja ich glaube das könnte stimmen. Weisst du auch wie man die Verteilung für das Jahr t berechnet?

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Rechne erst ein mal nach der Rekursionsformel

(US, J, E)₁^T = A * ( US, J , E)₀^T.

(US, J, E)₂^T = A * ( US, J , E)₁^T.

Vermutlich kannst du dann verallgemeinern.

Wenn du schon genug Theorie hast, kannst du die Matrix einfacher Potenzieren.

Dann direkt

(US, J, E)_t^T = A^t * ( US, J , E)₀^T

rechnen.

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Okay ich versuchs mal, vielen vielen Dank!! :) weisst du vielleicht auch wie ich so etwas aufzeigen kann:


Show that if λ is an eigenvalue of the matrix A with corresponding eigenvector x, then λ−1 is an eigenvalue of A−1 with eigenvector x.

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Schau mal hier: https://www.mathelounge.de/185378/matrix-vektor-eigenvalue-eigenvector

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Danke :)

jetzt habe ich für diese aufgabe hier den eigenwert von 1/2 und bekomme dann für den eigenvektor x=0, y=1/2 und z = 1/2, kommt mir aber etwas komisch vor...

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Der Eigenwert 1/2 ist schon mal gut. 1 ist auch noch Eigenwert. Lass dir vielleicht mal davon helfen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%281%2F2%3B+1%2F2+%3B+1%2F2%29%3B+%281%2F4%3B+1%2F2%3B+0%29%3B+%281%2F4%3B+0%3B+1%2F2%29%29