Substitution: Zeigen Sie: Die Gleichung -x^4+x^2=1+a² hat für a ∈ R keine Lösung

Question

Zeigen Sie: Die Gleichung -x⁴+x²=1+a² hat für a ∈ R keine Lösung 

Die Lösung ist: Substitution mit D=-4a²-3<0 . Keine Lösung.

Wie komm ich auf das?

Comments

ich weiss nicht wie ich da vorgehen soll

Answer 1

-x⁴+x²=1+a² 

Substitution x^2 = u

-u^2 + u = 1 + a^2

0 = u^2 - u + 1 + a^2

u1,2 = 1/2 (1 ± √ (1  - 4(1+a^2)))

 = 1/2 ( 1 ± √ (- 3 - 4a^2) )

= 1/2 (1± √ - (3 + 4a^2) )

Unter der Wurzel steht die Diskriminante D = - (3+4a^2) das ist sicher eine negative Zahl, da in der Klammer 2 positive Zahlen addiert werden.

Deshalb:

1. Keine reelle Lösung für u und 

2. da u = x^2 , dh. x = ±√u , auch keine reelle Lösung für x. qed.