Question

Wie rechnet man eine Betragsgleichung wie |5-x|=1 ???

 

Comments

Den Betrag von x kann man auch schreiben als

| x | = √(x^2)

Daher kannst du deine Ungleichung auch schreiben als

√((5 - x)^2) = 1

Hier kann man beide seiten Quadrieren

(5 - x)^2 = 1^2

25 - 10x + x^2 = 1

x^2 - 10x + 24 = 0

Hier gibt das mit der pq-Formel die Lösungen 4 und 6. Diese müssen wir in die Ausgangsgleichung nochmals einsetzen um die Lösungen zu prüfen.

Manchmal macht es Sinn Betragsgleichungen über eine Fallunterscheidung zu lösen aber manchmal ist es auch günstiger sich daraus eine quadratische Gleichung zu machen.

Answer 1

Man kann die Gleichung umschreiben in:
(5-x) =  ±1

Es gibt also zwei Möglichkeiten;
1. Fall:
(5-x) = 1
x = 4

2. Fall:
(5-x) = -1
x = 6


Der Betrag besagt nur, dass der Zahlenwert an sich interessant ist, man beachtet also das Vorzeichen nicht.
Wenn man nun 4 und 6 einetzt und jeweils das Vorzeichen nicht beachtet, dann sieht man, dass es immer 1 ergibt.