Überprüfung, ob ein Prozess stationär ist

Question

Sehr geehrte Damen und Herren,

bei den nachfolgenden Prozessen, die ich auf Stationarität prüfen soll, ist mir unklar, wie ich die Überprüfung darstellen soll.

Die Prozesse lauten:

a) y_t = 3 + 1,6y_t-1 + ε_t, NID (0,δ²)

b) y_t = 3 + 0,99y_t-1 + ε_t, NID (0,δ²)

c) y_t = α + y_t-1 + ε_t, NID (0,δ²)

d) y_t = y_t-1 + ε_t, NID (0,δ²)

mit NID (0,δ2) gleich normal und unabhängig verteilt vom Mittelwert 0 und Varianz δ²; ε = Residuen.

Vielen Dank für eine ausführliche Darstellung.

Comments

zu c)

nach Einsetzen erhalte ich:

1. yt = α + α + y_t-2 + ε_t-1 + ε_t

2. yt = α + α  α +  y_t-3 + ε_t-2 + ε_t-1 + ε_t

-> yt = α * n + y₀ + ∑ ε_t , also ein Random Walk mit Trend.

Stationär? m.E. nicht, da einem Trend gefolgt wird.

Diese Darstellung wäre mir auch bei den anderen Unterpunkten hilfreich.

---

zu d)

analog zu c) nur hier erhalte ich als Resultat: yt = y₀ + ∑ ε_t

Answer 1

Hi,
die stochastischen Prozesse die Du betrachten musst sind alle von der Form
$$ y_t=\delta+\phi_1\cdot y_{t-1}+\epsilon_t $$
Das ist das Modell eines autoregressiven Prozess 1'-ter Ordnung. Diesen Prozess bezeichnet man üblichwerweise als ein AR(1) Prozess.
Ein solcher Prozess ist dann stationär, wenn die Nullstellen seines charakteristischen Polynoms außerhalb des Einheitskreises in der komplexen Ebene liegen.
Bei deinen Prozessen sieht das charakteristische Polynom so aus
$$ p(z)=1-\phi_1\cdot z $$ und die Nullstelle dieses Polynoms ist $$ z=\frac{1}{\phi_1} $$ Diese Nullstelle liegt außerhalb des Einheitskreises, wenn \( \left| \phi_1 \right| < 1 \) gilt. Damit gilt
(a) Nicht stationär
(b) Stationär
(c) Nicht stationär
(d) Nicht stationär

Siehe z.B. auch hier

http://www.oth-aw.de/fileadmin/user_upload/Professoren/Seitz/wisu_3_12_arma.pdf