Monotonie einer e-Funktion bestimmen

Question

Bestimmen Sie die Bereiche, in denen die angegebene Funktion monoton wachsend und fallend ist:

$$ h(x)=100 \cdot e^{-\frac {20}{x}} $$Ich habe die Funktion zuerst abgeleitet:

$$ h'(x)=2000\cdot x^{-2} \cdot e^{-\frac {20}{x}} $$Nun möchte ich diese Ableitung gleich Null setzen, um die Nullstellen zu berechnen. Da dies ein Produkt ist und e nicht 0 wird, muss 

$$ h'(x)=2000\cdot x^{-2}$$ Null werden. Jedoch führt das auf keine Lösung. 

Answer 1

Bestimmen Sie die Bereiche, in denen die angegebene Funktion
monoton wachsend und fallend ist:

Du hast versucht einen Extrempunkt zu bestimmen. Dies war jedoch
nicht gefragt. Es gibt auch Funktionen ohne Extrempunkt die unterschiedliche
Monotonie haben. Siehe a.)

Monoton steigend heißt : 1.Ableitung > 0
Die erste Ableitung ist stets > 0 außer bei x = 0

Die Antwort auf die Fragetsellung wäre.
Die Funktion ist in den Bereichen ] -∞ ; 0 [ und
] 0 ; ∞ [  monoton steigend.

Oben rechts auf dieser Seite ist ein Funktionsplotter.
Dort kannst du dir den genauen Verlauf der Funktion
einmal zeichnen lassen.

Comments

Hallo Georg, ich verstehe. Ich darf also nicht davon ausgehen, dass wenn ich eine Extremstelle mit erster Ableitung ermittle, dass dann links und rechts verschiedene Monotonie existiert.

Dankeschön!

Hätte das mit dem Plotter gerne gezeichnet, jedoch steht dort dann etwas von "infinity" und kein Graph ist ersichtlich. Mache etwas falsch. :/

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Eine Frage habe ich dann aber doch noch. Woher wissen wir aufgrund der Ableitung, dass der Graph nicht etwas ständig fällt? Ich könnte ja auch 1. Ableitung < 0 schreiben, nach x auflösen kann ich trotzdem nicht, folglich fällt der Graph immer.

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Du ermittelst, wenn du die 1.Ableitung zu 0 setzt, einen Punkt mit waagerechter
Tangente. Dies kann ein Extrempunkt oder ein Sattelpunkt sein ( ein Flachpunkt
wäre auch möglich ).

Extrempunkt : links und rechts hat die Monotonie ein verschiedenes Vorzeichen
Sattelpunkt : links und rechts hat die Monotonie dasselbe Vorzeichen.

Zum Plotter : hier mein eigenes Matheprogramm

MIt dem Mausrad kannst du dich im Funktionsplotter raus- und reinzoomen.

In der rechten Seite sieht du dann eine steigende Funktion.

In der linken Seite sind die Funktionswerte ( e^14 ) so groß das die Skalierung
des Funktionsplotters dies nicht mehr mitmacht.
( Mein Matheprogramm schafft dies ). Auch auf der linken Seite ist
die Funktion steigend.

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Nachtrag : der Graph

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h ´( x ) = 2000 * e^{-20/x}  / x^2
Der Fachmann sieht : 2000 * stets_positiv / stets_positiv : bleibt stets positiv
h ´( x ) > 0

Probieren ob auch negativ möglich ist :
h ´( x )  <  0
2000 * e^{-20/x}  / x^2  < 0  | * x^2
2000 * e^{-20/x} < 0 * x^2
2000 * e^{-20/x} < 0
Auch hier gilt
2000 * stets_positiv kann nicht kleiner 0 sein
{ }

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Nochmals herzlichen Dank für die Hilfe! Ich verstehe das besser! Sattelpunkte und Extrempunkte muss ich mich offenbar nochmals zu Gemüte führen.

frohe Festtage! (:

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Gern geschehen. Vor dir liegt noch ein weites mathematische Feld.

Answer 2

das bedeutet doch nur, dass es keine Wechsel von steigend auf fallend, bzw. andersrum gibt ;).

Sprich eine Punktprobe ergibt wir haben immer steigende Monotonie, wobei x = 0 gesondert behandelt werden muss.

Grüße

Comments

Aso. Wenn ich also keinen Extrempunkt finde wie hier, dann brauche ich im Prinzip nur zwei x-Stellen einzusetzen, um zu beurteilen, ob das Ganze steigt oder fällt.