Vektorraum der reellen Polynome und Skalarprodukt

Question

Es sei \( V=\mathbb{R}[x] \) des Vektorraums der reellen Polynome und \( \beta: V \times V \rightarrow \mathbb{R} \) das durch \( \beta(g, h):=\int \limits_{-1}^{1} g(t) h(t) d t \) definierte Skalarprodukt.

1. \( p\left(x^{m}, x^{n}\right) \) für \( n, m \in \mathbb{N}_{0} \) berechnen.

2. Orthonormalbasis für den Unteraum der Polynome vom Grad ≤ 4 berechnen, mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahren auf der Basis \( \left\{1, x, x^{2}, x^{3}, x^{4}\right\} \)

Answer 1

1. ist einfach. Da musst du nur
Integral von -1 bis 1 über x^m * x^n dx bzw. t^m * t^n dt ausrechnen.

Das gibt Integral von -1 bis 1 über x^{m+n} dx
x^m+n+1 / (m+n+1) in den Grenzen von -1 bis 1, also
1/(m+n+1)  -  (-1)^m+n+1  / (m+n+1)    =   ( 1  -  (-1)^m+n+1   )   / (m+n+1)

und bei dem Gram-Schmidt Verfahren musst du ja dauern solche Skalarprodukte
verwenden.