Betrachten Sie den Vektorraum ℝ2[x] mit Skalarprodukt

Question

Aufgabe: Betrachten Sie den Vektorraum ℝ₂[x] mit Skalarprodukt (p1,p2)= $$\int \limits_{a}^{b}p1(x)p2(x)dx$$

(i) Zeigen Sie, dass ⟨x²⟩^⊥ = {ax² + bx +c : \( \frac{a}{5} \) + \( \frac{b}{4} \) + \( \frac{c}{3} \) = 0}

(ii) Finden Sie eine Orthonormalbasis für ⟨x²⟩^⊥ mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens

Problem: Es fangt schon damit an dass ich nicht weiß wofür das ⊥ in diesem Kontext bedeutet, weitere Ansätze fehlen mir

Comments

Heißen die Integralgrenzen wirklich a und b?

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Es fangt schon damit an dass ich nicht weiß wofür das ⊥ in diesem Kontext bedeutet

Orthogonales Komplement:

$$ U^\perp = \{ v \in \mathbb R_2[x] ~|~ \forall u \in U :~\langle v, u \rangle = 0 \} $$

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Heißen die Integralgrenzen wirklich a und b?

Nein habs vergessen zu ändern a=0 und b=1

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Ah! Nun gibt es Sinn ;-)

Answer 1

Wir suchen also nach allen Polynomen der Gestalt

\(ax^2+bx+c\) für die \(<ax^2+bx+c,\;x^2>=0\) gilt:

\(0=<ax^2+bx+c,x^2>=a<x^2,x^2>+b<x,x^2>+c<1,x^2>=\)

\(a \int_0^1 x^2\cdot x^2dx+b \int_0^1 x\cdot x^2dx+c\int_0^1 1\cdot x^2dx= ...\)

Hieraus solltest du eine Bedingung für die Zahlen \(a,b,c\) erhalten.

Answer 2

(i)  Um <x^2>⊥  zu bestimmen, brauchst du alle Polynome

p(x) = ax^2 + bx + c , die mit x^2 das Skalarprodukt 0 haben.

Sei also p so ein Polynom und es gelte

$$ \int \limits_{0}^{1}  p(x)*x^2 dx = 0 $$

also

$$ \int \limits_{0}^{1}  ax^4 + bx^3 + cx^2   dx = 0 $$

Das ist genau dann der Fall, wenn

a/5 + b/4 + c/3 = 0

wie in der Aufgabe gefordert.