Kontrolle: Bestimme Extremwerte und Monotonie von g. g(x):= (3+4(x-1)^2)*e^{-x^2}

Question

Bestimmen Sie die Extremwerte und das Monotonieverhalten von:

\( g(x)=\left(3+4(x-1)^{2}\right) e^{-x^{2}} \)

Ansatz:

\( g(x)=\left(3+4(x-1)^{2}\right) e^{-x^{2}} \Leftrightarrow\left(4 x^{2}-8 x+7\right) e^{-x^{2}} \)
\( g^{\prime}(x)=(8 x-8) · e^{-x^{2}}+\left(4 x^{2}-8 x+7\right) · e^{-x^{2}} *-2 x \)
\( \Leftrightarrow e^{-x^{2}} · \left((8 x-8)+\left(4 x^{2}-8 x+7\right) *-2 x\right) \)
\( \Leftrightarrow e^{-x^{2}} · \left(-8 x^{3}+16 x^{2}-6 x-8\right) \)

Und dann komm ich nicht weiter, weil es so keine Lösung für die Kubische Gleichung gibt, die Teiler von 8 ist.

Comments

Klammere zumindest mal noch -2 aus. (vor das e schreiben) .

Dann musst du nur die 6 Werte ±1 , ±2,  ±4 testen.

Hoffe, dass das hilft.

EDIT: Habe oben geändert: Klammere -2 aus. Das wird etwas einfacher.

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x = 1/2 ist eine Nullstelle von deinem Polynom.

Solange du vor der höchsten Potenz von x (hier x^3) noch einen Faktor hast, kann dieser Faktor oder ein Teiler von ihm im Nenner der ersten Lösung auftauchen.

Answer 1

g(x) = (3 + 4·(x - 1)^2)·e^{- x²} = e^{- x^2}·(4·x^2 - 8·x + 7)

g'(x) = - 2·e^{- x^2}·(4·x^3 - 8·x^2 + 3·x + 4)

Man findet nur eine Nullstelle bei x = -1/2

Bei kubischen Gleichungen nimmt man entweder den TR wenn der kubische Gleichungen lösen kann oder ein Näherungsverfahren wie z.B. das Intervallschachtelung oder das Newtonverfahren.

Comments

Ich komm leider nicht auf deine Ableitung.

Wenn ich die -2 auch ausklammere, dann habe ich:
g'(x) = - 2·e^{- x^2}·((8x-8)+(4x³-8x²+7x))
g'(x) = - 2·e^{- x^2}·(4x³-8x²+15x-8)

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Mach erstmal die Ableitung von

g(x) = e^{- x^2}·(4·x² - 8·x + 7)

Bitte zunächst ohne Ausklammern. Ausklammern brauchst du auch nicht, wenn du nicht möchtest.

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Die Ableitung ist f '(x) = (8x-8) * e^{- x2} +(4x²-8x+7)* e^{- x2} *-2x  

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Und dann klammer mal -2 und e^{-x²} aus.

f'(x) = (8·x - 8)·e^{- x^2} + (4·x^2 - 8·x + 7)·e^{- x^2}·(- 2·x)

f'(x) = -2·e^{- x^2}·((4 - 4·x) + (4·x^3 - 8·x^2 + 7·x))

f'(x) = -2·e^{- x^2}·(4·x^3 - 8·x^2 + 3·x + 4)

Nun klarer?

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ok verstehe. Die -2 muss ja auch auf der anderen Seite des + Zeichen rausgeklammert werden.  Immer diese miesen kleinen Mathefehler. Vielen Dank ich rechne jetzt weiter.

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So das ist mein Endergebnis:

Also von ]-unendlich, -0,5[  monoton steigend

bei -0,5  ->  Hochpunkt (-0,5 / 9,3456)

von ]-0,5, + unendlich[ monoton fallend

Answer 2

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sorry - aber die oben von Lu aufgestellte Behauptung :

" x = 1/2 ist eine Nullstelle von deinem Polynom."  ist falsch .

die kubische Gleichung ->

- 8 x^3 + 16 x^2 - 6 x - 8 = 0

hat nur genau eine reelle Lösung und zwar bei  ->

  x = - 1 / 2

und dann also:

die geg, Funktion g(x) = (4x^2-8x+7)* e^{-x^2}

ist für   - oo <x < -1/2 streng monoton steigend

und für - 1/2 <x < +oo streng monoton fallend

warum wohl?

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Comments

Es ist keine schande sich mal zu verrechnen oder bei der Angabe der Lösung einfach nur ein minus zu vergessen. Der Fragesteller sollte spätestens beim Nachrechnen solche Fehler bemerken und hier dann nochmals rücksprache halten.

Wer so viele hilfreiche Antworten gibt wie Lu dem kann man so ein kleines Missgeschick wie eine klemmende Minustaste auf der Tastatur wohl nachsehen.

Und auch dir noch ein frohes neues Jahr.