Das sind alles relativ anspruchsvolle Rekonstruktionsaufgaben, bei denen du aus gewissen Randinformationen Funktionen rekonstruieren musst.
Du musst jeweils die gegebenen Informationen in Formeln übersetzen und die entstehenden Gleichungssysteme lösen.
Bei deinen Beispielen funktioniert das folgendermaßen:
Aufgabe 1:
Vorgegeben ist f(x)=cx-ax3
1. Information: f(1)=1
1 = c*1-a*13 = c-a
2. Information:
f(u) = 0
0 = c*u-a*u3
Das Gleichungssystem lautet also:
1 = c-a
0 = cu-au3
wobei wir darauf achten müssen, dass wir nach c und a auflösen wollen, da u später eine freie Variable sein soll, für die wir den Flächeninhalt minimieren.
Die erste Gleichung lässt sich umformen zu c=1+a
Eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt sich:
0 = (1+a)*u-a*u3
0 = u + au-au3 |+(au3-au)
au3-au = u
a*(u3-u) = u | /(u3-u)
a = u/(u3-u) = u/(u*(u2-1)) | einmal u kürzen
a = 1/(u2-1)
c = 1+a = 1+1/(u2-1) = (u2-1)/(u2-1) + 1/(u2-1) = u2/(u2-1)
Die Funktion lautet also fu(x) = u2/(u2-1)*x - 1/(u2-1) * x3 = (u2x-x3)/(u2-1)
Jetzt kommt es zum Integral. Wir suchen den Flächeninhalt im 1. Quadranten, also dem oberen rechten Abschnitt des Koordinatensystems.
Dafür benötigen wir zunächst die Nullstellen in diesem Bereich, diese sind aber einfach zu finden:
Die erste x=u kennen wir bereits. Die zweite lässt sich einfach an der Funktionsgleichung ablesen, sie lautet x=0. Mehr gibt es nicht; da es sich um eine Funktion dritten Grades handelt, hat sie höchstens drei Nullstellen - da sie außerdem nur ungerade Exponenten hat, ist sie punktsymmetrisch zum Ursprung und die dritte Nullstelle liegt bei x=-u.
Wir suchen also das Integral von 0 bis u:
$$ \int _ { 0 } ^ { u } \frac { u ^ { 2 } x - x ^ { 3 } } { u ^ { 2 } - 1 } d x $$
Entscheidend ist hier, dass die Integrationsvariable x ist - das u kann also als Konstante betrachtet werden.
Wir können also erstmal das 1/(u²-1) vor das Integral ziehen, dann sieht das alles schon gar nicht mehr so schlimm aus.
Der Flächeninhalt, den wir ausrechnen ist jetzt natürlich eine Funktion von u.
$$ A ( u ) = \int _ { 0 } ^ { u } \frac { u ^ { 2 } x - x ^ { 3 } } { u ^ { 2 } - 1 } d x = \frac { 1 } { u ^ { 2 } - 1 } · \int _ { 0 } ^ { u } \left( u ^ { 2 } x - x ^ { 3 } \right) d x \\ A ( u ) = \frac { 1 } { u ^ { 2 } - 1 } · \left[ \frac { u ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 } - \frac { x ^ { 4 } } { 4 } \right] _ { 0 } ^ { u } = \frac { 1 } { u ^ { 2 } - 1 } \left[ \frac { u ^ { 4 } } { 2 } - \frac { u ^ { 4 } } { 4 } \right] \\ A ( u ) = \frac { u ^ { 4 } } { 4 \left( u ^ { 2 } - 1 \right) } $$
Um jetzt das Minimum herauszufinden, muss die Funktion einmal nach u abgeleitet werden, das funktioniert mit der Quotientenregel:
$$ A ^ { \prime } ( u ) = \frac { 4 u ^ { 3 } · 4 \left( u ^ { 2 } - 1 \right) - u ^ { 4 } · 8 u } { 16 \left( u ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } } = \frac { 16 u ^ { 5 } - 16 u ^ { 3 } - 8 u ^ { 5 } } { 16 \left( u ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } } \\ A ^ { \prime } ( u ) = \frac { 8 u ^ { 5 } - 16 u ^ { 3 } } { 16 \left( u ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } } = \frac { u ^ { 5 } - 2 u ^ { 3 } } { 2 \left( u ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } } = u ^ { 3 } · \frac { u ^ { 2 } - 2 } { 2 \left( u ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } } $$
Sämtliche Lösungen lassen sich daran jetzt schon ablesen! Für das Minimum muss A'(u)=0 gelten.
Es gibt die Regel: Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren 0 ist: daraus folgt, dass entweder u3 oder u2-2 bereits 0 sein müssen. Gleichzeitig darf der Nenner dann nicht 0 sein, u darf also nicht 1 sein, was aber bereits in der Aufgabenstellung ausgeschlossen wurde.
Wir lösen die beiden entstehenden Gleichungen:
u3=0
u = 0
Allerdings ist 0<1 also nicht von der Aufgabe zugelassen.
u2-2 = 0
u2=2
u = ±√2
Die einzige Lösung, die von der Aufgabe zugelassen ist ist also u=√2.
Eingesetzt in A(u) ergibt das den Flächeninhalt:
A(√2)=√24/(4*(√22-1)) = 4/(4*(2-1))
A(√2) = 1
Aufgabe 2:
Als erstes muss der Wendepunkt der Funktion bestimmt werden. Für diesen gilt f''(x) = 0 sowie f'''(x) ≠ 0
f(x) = x*(x2-1) = x3-x
f'(x) = 3x2-1
f''(x) = 6x
f'''(x) = 6
Der Wendepunkt ist also (0,0).
Wir suchen also eine Funktion g, die durch den Punkt (0,0) und einen bestimmten anderen Punkt von f geht - nennen wir die Stelle dieses Punktes a, so lautet er: (a, a3-a)
Nach der Zwei-Punkte-Formel lässt sich nun die Funktionsgleichung der Funktion g ermitteln:
g(x) = mx+n
g(0) = 0 ⇒ n=0
g(a) = a3-a ⇒ m=a2-1
g(x) = (a2-1)*x
Um jetzt den Flächeninhalt zwischen beiden Funktionen zu bestimmen, muss die Differenzfunktion ermittelt und von 0 bis a integriert werden. Da sowieso nur der Betrag entscheidend ist, ist es auch egal, welche Funktion von von welcher abzieht.
$$ A ( a ) = \int _ { 0 } ^ { a } ( f ( x ) - g ( x ) ) d x = \int _ { 0 } ^ { a } \left( x ^ { 3 } - x - \left( a ^ { 2 } - 1 \right) x \right) d x \\ A ( a ) = \int _ { 0 } ^ { a } \left( x ^ { 3 } - a ^ { 2 } x \right) d x = \left[ \frac { x ^ { 4 } } { 4 } - \frac { a ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 } \right] _ { 0 } ^ { a } \\ A ( a ) = - \frac { a ^ { 4 } } { 4 } $$
Nun soll |A(a)|=1,5 gelten, also:
1,5 = a4/4
a4=6
a=4√6
Die Funktionsgleichung von g lautet also:
g(x) = (√6-1)*x
